Produit

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Posted by: bitonio

Hello,
Voila un petit exo sympa, qui a été posé aux oraux d'entrées de polytechnique L'exercice n'est très compliqué en lui même, si on voit le truc :)

Bonne chance

4$ P_n= \sqrt { \frac { 1 } {2}} \sqrt { \frac { 1 } {2} + \frac {1}{2} \sqrt { \frac { 1 } {2}}} \sqrt { \frac {1}{2} + \frac {1}{2} \sqrt { \frac { 1 } {2} + \frac {1}{2} \sqrt { \frac { 1 } {2}}}} \sqrt { \frac {1}{2}+ \frac {1}{2} \sqrt { \frac {1}{2} + \frac {1}{2} \sqrt { \frac { 1 } {2} + \frac {1}{2} \sqrt { \frac { 1 } {2}}}} } ...

avec n termes

Donner une expression simple de P_n
Calculer la limite de Pn en +oo

Si deja posté toutes mes excuses

Bonne journée


Posted by: oss007

bonsoir

Ton expression ressemble plus à un produit qu'à une somme.

Ne serait-ce point la formule de Viète donnant l'inverse de pi quand n--->infini? ( vers 1580)


Posted by: bitonio

je ne sais pas d'ou ca vient (oui oui c'est un produit!)

ce qui est interessant c'est de trouver l'astuce pour simplifier Pn :)


Posted by: atito

Citation:
Posté par bitonio
je ne sais pas d'ou ca vient (oui oui c'est un produit!)

ce qui est interessant c'est de trouver l'astuce pour simplifier Pn :)


Bien deja Essaye de calcluer (Pn)²


Posted by: Flodelarab

Je ne comprends pas bien l'intérêt.

Je crée une suite (Un) telle que:
3$ \{ U_{n+1}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}U_n}\\U_0=0
Donc 3$ P_n=\prod_{i=1}^{n}U_i

(Un) est une suite qui reste entre 0 et 1 donc la multiplication infinie de ses termes tendra vers 0

non?


Posted by: tize

Citation:
Posté par Flodelarab
(Un) est une suite qui reste entre 0 et 1 donc la multiplication infinie de ses termes tendra vers 0
non?


non car on ne peut pas majorer les facteurs par un nombre <1.
les Un se rapprochent de plus en plus de 1...

Contre-exemple : 3$\(1-\frac{1}{n}\)^n\rightarrow \frac{1}{e}\neq 0


Posted by: bitonio

non non ca tend pas vers 0 :) pas du tout :)

Tize moi j'ai trouvé la solution, j'ai fait cet exo avec mon prof hier en cours de sup Mais bon j'ai trouvé ca marrant, donc je l'ai posté ici...

Sinon Altito, quand j'ai dis je ne sais pas d'ou ca vient, je répond à "Ne serait-ce point la formule de Viète donnant l'inverse de pi quand n--->infini? ( vers 1580)"

Ps: on cherche vraiment une formule simple pour Pn

Allez faite marcher vos neurones


Posted by: oss007

bonjour à tous

Pour l'approche mathématico-historique de la formule de Viète, voir:

http://s146372241.onlinehome.fr/web/pi314.net/viete.php

bonne journée.


Posted by: tize

ce serait donc un produit de cosinus, c'est assez jolie...


Posted by: bitonio

Effectivement :) on reconnait dans sqrt { \frac {1}{ 2} + \frac {1} {2} Un } une formule assez connu de trigo non ?

Et si vous calculez P_1_n= cos(\frac {x}{2}).... cos (\frac {x}{2^n}) vous devriez trouver ce qu'il faut ;)

Bonne chance


Posted by: bitonio

Alors personne ? Vous allez pas me dire que c'est trop dur quanc même


Posted by: oss007

bonjour,

cos(a/2)cos(a/2^2)....cos(a/2^n) =sin(a)/[(2^n)sin(a/2^n)]

et quand n tend vers + infini : cette expression tend vers :sin(a)/a

ici, a=\pi/2 ,donc,
le produit infini initial tend vers 2/\pi .

Rappel: formule de Viète (1540-1603)


Posted by: tize

Comment fait-on pour montrer ça : 3$cos(a/2)cos(a/2^2)....cos(a/2^n) =sin(a)/[(2^n)sin(a/2^n)]
?


Posted by: bitonio

sin(2a)=2sin(a)cos(a)

donc cos(a)= \frac {sin(2a) } { 2cos(a) }

maintenant fait le produit et tu vas voir tout se simplifie très très bien !!!

;)

Sinon osss007 c'est correct, bravo !

Bonne chance


Posted by: tize

Merci, comme ça, ca a pas l'air trop compliqué, merci beaucoup

Cordialement
José


Posted by: bitonio

En effet une fois qu'on a vu le truc c'est enfantin, encore faut il le voir c'est un autre problème ca

Bonne soirée










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