Produit scalaire de vecteurs (suite)

[Anonyme]

Bonsoir à tous et à toutes,

Voilà : Je voudrais savoir si je comprends bien une des implications du produit scalaire
de deux vecteurs :

Est-ce qu'il est juste de dire que la longueur "L" du projeté orthogonal d'un vecteur, V,
sur la droite portant un second vecteur, U, est égale à :
L = valeur absolue de (U.V) / norme de U
(l'angle de vecteurs n'entrant alors pas dans la formule.)

En tout cas, si c'est juste, quel gain de temps pour calculer L.
Avant, pour calculer L à partir de deux vecteurs U et V, j'aurais :
- calculé l'équation de la droite "y1" portant le vecteur U
- calculé l'équation de la droite "y2" perpendiculaire à y1 et passant par l'extrémité du
vecteur V
- calculé l'abscisse "x" et l'ordonnée "y" de l'intersection entre y1 et y2
- enfin calculé la longueur L, soit sqrt(x² + y²)

Merci d'avance pour vos remarques.

Gibbs.

[Anonyme]

La formule que tu as donnée est juste.

Pour ce qui suit je suppose que tu travailles déjà dans une base du
plan ou de l'espace, et que les composantes de u et v sont connues
dans cette base.

Gibbs :
> Avant, pour calculer L à partir de deux vecteurs U et V, j'aurais
> - calculé l'équation de la droite "y1" portant le vecteur U

Je pense que tu veux parler d'un représentant fixé du vecteur dans
le plan, et non du vecteur (une famille infinie de bipoints).
Sinon il y aurait une infinité de droites...

Ta méthode marche mais tu fais pleins de calculs en trop (les
équations de droites).



En moins compliqué, sans aucune droite, sans utiliser de produit
scalaire et avec le même genre d'idées graphiques, ie recoller les
deux vecteurs par le bout :
Dans le plan,
- déterminer un vecteur orthogonal u' à u.
- exprimer v dans la base orthogonale (u, u').

Puis la projection de v sur u se " lit graphiquement ", il suffit
de garder la composante de v suivant u. (*)

Dans l'espace, je pense qu'on peut faire pareil.



exemple d'application :
u=(1,2) v=(2,3), on cherche le projeté de v sur u.

Un vecteur orthogonal de u est u'=(2,-1).
pour exprimer v dans la base (u,u') on résout un petit système :
v = x.u + y.u' ssi 2.i + 3.j = (x+2y).i + (2x-y).j

x+2y = 2 et 2x-y = 3 x=8/5 et y=1/5

donc le projeté de v sur u, vaut (8/5).u
et la longueur cherchée est 8*sqrt(5)/5.



Enfin évidemment ta formule, dans une base orthonormée, rend les
choses simplissimes puisqu'on a une expression agréable du produit
scalaire dans ce cas. Sinon, il faut utiliser l'autre méthode.

--
Michel [overdose@alussinan.org]
(*) enfin quoique c'est quand même un peu de l'arnaque, la notion
d'orthogonalité se définit à partir du produit scalaire...