Produit scalaire de vecteurs

[Anonyme]

Bonjour à tous et à toutes,

Voilà : Quelqu'un, ici, m'a un jour sympathiquement donné une démonstration du fait que
l'aire d'un parallélogramme construit à partir de deux vecteurs (ramenés à l'origine d'un
repère orthonormal) est égale au déterminant de ces deux vecteurs, au signe près.

Mais je m'aperçois maintenant que dans cette démonstration il y a l'égalité (U et V étant
deux vecteurs) :
U.V = norme de U * norme de V * cos(U;V)
formule pour laquelle je n'arrive pas à trouver de démonstration. Dans mon manuel, j'ai
bien une "présentation géométrique" fort intéressante de ce qu'est le produit scalaire de
deux vecteurs, mais pas de démonstration, plus précisément, de ce que, pour deux vecteurs
U(a;b) et V(c;d), on ait :
norme de U * norme de V * cos(U;V) = a*c + b*d
qui reste pour moi une formule bien mystérieuse.

Si l'un(e) d'entre vous pouvait m'en proposer une, j'en serais bien content.

Un grand merci d'avance.

Gibbs.

[Anonyme]

Bonjour,
pour ce qui est de la formule U.V=norme (U).norme(V)* cos (U;V).
Pour la "démontrer" je pense qu'il suffit de dire (à vérifier) qu'il
suffit de prendre l'unique réel de [0,Pi] tel que son cosinus soit égale
à U.V/(norme(U).norme(V))

Ensuite pour la "formule" U.V=xx'+yy' je pense qu'il s'agit d'une
définition: On a définit une application de R²xR²->R qui a deux élément
U(x,y) et V(x,y) associe le réel xx'+yy' appelé produit scalaire (qui
possède des proprités comme la bilinéarité et la ... enfin l'application
est symétrique aussi!!).
Dans notre cours, on a parlé de produit scalaire canonique.

Je demanderais quand même à mon prof confirmation... question très
intéressante.

Stéphane.




Gibbs a écrit :

> Bonjour à tous et à toutes,
>
> Voilà : Quelqu'un, ici, m'a un jour sympathiquement donné une démonstration du fait que
> l'aire d'un parallélogramme construit à partir de deux vecteurs (ramenés à l'origine d'un
> repère orthonormal) est égale au déterminant de ces deux vecteurs, au signe près.
>
> Mais je m'aperçois maintenant que dans cette démonstration il y a l'égalité (U et V étant
> deux vecteurs) :
> U.V = norme de U * norme de V * cos(U;V)
> formule pour laquelle je n'arrive pas à trouver de démonstration. Dans mon manuel, j'ai
> bien une "présentation géométrique" fort intéressante de ce qu'est le produit scalaire de
> deux vecteurs, mais pas de démonstration, plus précisément, de ce que, pour deux vecteurs
> U(a;b) et V(c;d), on ait :
> norme de U * norme de V * cos(U;V) = a*c + b*d
> qui reste pour moi une formule bien mystérieuse.
>
> Si l'un(e) d'entre vous pouvait m'en proposer une, j'en serais bien content.
>
> Un grand merci d'avance.
>
> Gibbs.
>
>
>

[Anonyme]

"Stéphane Saje" a écrit dans le message news:
c5h86f$93g$1@news-reader1.wanadoo.fr...

> Je demanderais quand même à mon prof confirmation... question très
> intéressante.

Bonsoir,

si ton prof te donne des informations intéressantes, ce serait sympa de me les
transmettre. Je reste "à l'écoute". Encore merci.

Gibbs.

[Anonyme]

Bonsoir,

Gibbs a écrit:
> Bonjour à tous et à toutes,
>
> Voilà : Quelqu'un, ici, m'a un jour sympathiquement donné une démonstration du fait que
> l'aire d'un parallélogramme construit à partir de deux vecteurs (ramenés à l'origine d'un
> repère orthonormal) est égale au déterminant de ces deux vecteurs, au signe près.
>
> Mais je m'aperçois maintenant que dans cette démonstration il y a l'égalité (U et V étant
> deux vecteurs) :
> U.V = norme de U * norme de V * cos(U;V)
> formule pour laquelle je n'arrive pas à trouver de démonstration. Dans mon manuel, j'ai

Dans mon (vieux) manuel c'est la définition même du produit scalaire.
Attention ceci est la formule du produit _scalaire_ de U et V
L'aire du parallelogramme c'est norme de (UxV) avec UxV le produit
_vectoriel_ de U et V.

> bien une "présentation géométrique" fort intéressante de ce qu'est le produit scalaire de
> deux vecteurs, mais pas de démonstration, plus précisément, de ce que, pour deux vecteurs
> U(a;b) et V(c;d), on ait :
> norme de U * norme de V * cos(U;V) = a*c + b*d
> qui reste pour moi une formule bien mystérieuse.
>

Dans ce même manuel on montre alors, à partir de la définition
ci-dessus, que :
(k*U).V = k*(U.V) multiplication par un scalaire
U.V = V.U commutativité
U.(V+W) = (U.V) + (U.W) distributivité

Mais alors dans un repère de vecteurs unitaires I et J, par définition
U = a*I + b*J et V = c*I + d*J
et donc U.V = (a*I+b*J).(c*I+d*J) =
a*c*I.I + b*d*J.J + a*d*I.J + b*c*J.I
I.I = 1, J.J=1, (normes = 1 et angle = 0, cos = 1)
I.J = J.I = 0 (angle = 90 degrés, cos = 0)
reste U.V = a*c + b*d

Quand au produit vectoriel UxV c'est un vecteur (et non pas un scalaire)
dont la norme est :
norme de U * norme de V * sin(U;V) = |a*d - b*c|
Ce qui correspond bien au déterminant de
( a c )
( b d )

attention, avec le coup du sinus, UxV = - VxU, et donc
IxJ = - JxI ont pour norme 1
et IxI = JxJ = vecteur 0 (sin(0) = 0)

--
philippe
(chephip à free point fr)

[Anonyme]

>
> Voilà : Quelqu'un, ici, m'a un jour sympathiquement donné une
démonstration du fait que
> l'aire d'un parallélogramme construit à partir de deux vecteurs (ramenés à
l'origine d'un
> repère orthonormal) est égale au déterminant de ces deux vecteurs, au
signe près.
>
> Mais je m'aperçois maintenant que dans cette démonstration il y a
l'égalité (U et V étant
> deux vecteurs) :
> U.V = norme de U * norme de V * cos(U;V)
> formule pour laquelle je n'arrive pas à trouver de démonstration. Dans mon
manuel,

Je crois qu'on peut dire que c'est la définition de l'angle. On munit R^2 du
produit scalaire canonique, et on définit l'angle de deux vecteurs par son
cosinus (modulo la bonne orientation) : U.V/(||U||.||V||) (qui est toujours
<=1 par Cauchy Schwarz). Si on prend un autre produit scalaire, on a une
autre définition de l'angle.

[Anonyme]

On Tue, 13 Apr 2004 18:32:42 +0200
"Gibbs" wrote:
> bien une "présentation géométrique" fort intéressante de ce qu'est le produit scalaire de
> deux vecteurs, mais pas de démonstration, plus précisément, de ce que, pour deux vecteurs
> U(a;b) et V(c;d), on ait :
> norme de U * norme de V * cos(U;V) = a*c + b*d
> qui reste pour moi une formule bien mystérieuse.
>
> Si l'un(e) d'entre vous pouvait m'en proposer une, j'en serais bien content.
>

On peut voir ça en termes de projections orthogonales.
Pour deux vecteurs U et V, U.V est égal au produit de
la norme de U par la norme du projeté orthogonal de V
sur U, c'est à dire ||V||cos(U,V). Le graphique à deux balles ci dessous
aidera peut-être à t'en convaincre
_
/|
V / : => ||P_uV||=||V||cos(U,V)
/ : U (de cos=côté adjacent/hypothénuse)
--->----->
P_uV

Donc U.V = ||U|| ||P_uV|| = ||U|| ||V|| cos(U,V)
Si on prend pour définition de la norme
||U||=sqrt(U'U)
on aura aussi
U.V = ||U|| ||P_uV||
= sqrt(U'U)*sqrt(V'U inv(U'U) U'U inv(U'U) U'V) (1)
= sqrt(U'U)*sqrt(V'U inv(U'U) U'V)
= sqrt((U'V)^2)
où dans la dernière équation j'ai utilisé le fait que
U'U et U'V sont scalaires, donc l'ordre des termes est
indifférent et V'U=U'V.
D'où U.V = U'V = somme(u_i v_i)

(1) Expression du projecteur orthogonal sur U:
P_u = U inv(U'U) U'

Conséquence: tous les vecteurs qui ont le même projeté
orthogonal sur U auront le même produit scalaire avec U

--
Yves Kuhry

[Anonyme]

On Wed, 14 Apr 2004 15:45:19 +0000
Yves Kuhry wrote:

Je me répond à moi même
Pour la dernière partie, il aurait mieux valu
partir de la définition du produit scalaire
U.V=U'V en déduire la norme associée
||U||^2=U'U
et montrer qu'on retrouve bien
U'V = ||U|| ||P_uV||
et donc que les deux expressions mesurent
bien la même chose.
Dans un cas, il s'agit d'une définition générale du
produit scalaire qui ne précise pas la manière
dont est calculée la norme et dans l'autre, on
donne une définition précise de celle-ci.

--
Yves Kuhry

[Anonyme]

Me" revoila, voila ce que mon professeur de maths m'a écrit:

Géry Huvent a écrit:
La définition du produit scalaire dans le cas général est un peu plus
abstraite.
( c'est une application f de ExE dans R vérifiant
f(ax+by,z)=af(x,z)+bf(y,z) linéarité à gauche
f(x,y)=f(y,x) symétrie
f(x,x)>=0 positivité
f(x,x)=0 si et seulement si x=0
par exemple sur R[X], f(P,Q)=intégrale(P(t)*Q(),t=-1..1) est un produit
scalaire qui permet
de géométriser certains problèmes sur les polynômes)

Ce qu'il faut savoir c'est que l'on peut toujours se ramener à U.V=xx'+yy'
où (x,y), (x',y')
sont les coordonnées des vecteurs U et V dans une base orthonormé.
En quelque sorte, bien la définiton générale du produit scalaire soit
abstraite, celui que l'on
étudie dans les "petites classes" est canonique.
Quand au lien avec la norme (euclidienne)
U.V=1/2*(norme(U)²+norme(V)²-norme(U-V)²).
il s'agit de l'identité de polairisation qui est toujours vrai pour un
produit scalaire.
En fait, ayant un produit scalaire, on peut définir une norme, on la
qualifie d'euclidienne. Si l'on connait
la norme, on peut récupérer le produit scalaire.

A demain

Géry Huvent
http://perso.wanadoo.fr/gery.huvent

D'après ce que j'ai compris de nôtre conversation ce matin tout dépend
de ce que vous donnez comme définition au prduit scalaire mais tous les
cas vous devez pouvoir prouver toutes les proprités du produit scalaire.
Par exemple la formule U.V=norme(U).norme(V).cos(U,V) peut être adoptée
comme le définition même du cosinus... voir aussi les messages de Yves
Kuhry.

Stéphane Saje




Gibbs a écrit :
> Bonjour à tous et à toutes,
>
> Voilà : Quelqu'un, ici, m'a un jour sympathiquement donné une démonstration du fait que
> l'aire d'un parallélogramme construit à partir de deux vecteurs (ramenés à l'origine d'un
> repère orthonormal) est égale au déterminant de ces deux vecteurs, au signe près.
>
> Mais je m'aperçois maintenant que dans cette démonstration il y a l'égalité (U et V étant
> deux vecteurs) :
> U.V = norme de U * norme de V * cos(U;V)
> formule pour laquelle je n'arrive pas à trouver de démonstration. Dans mon manuel, j'ai
> bien une "présentation géométrique" fort intéressante de ce qu'est le produit scalaire de
> deux vecteurs, mais pas de démonstration, plus précisément, de ce que, pour deux vecteurs
> U(a;b) et V(c;d), on ait :
> norme de U * norme de V * cos(U;V) = a*c + b*d
> qui reste pour moi une formule bien mystérieuse.
>
> Si l'un(e) d'entre vous pouvait m'en proposer une, j'en serais bien content.
>
> Un grand merci d'avance.
>
> Gibbs.
>
>
>

[Anonyme]

Bonsoir,

un grand merci à chacun d'entre vous pour avoir bien voulu vous pencher sur ma question et
pour vos éclaircissements qui me sont bien utiles.

Gibbs.