Bonjour je bloque complètement sur cet exercice malgré de vaines tentatives:
Soit E un espace euclidien réel de dimension n>=3 et a,b 2 vecteurs orthogonaux non nuls.
Soit: u(x)=(a/x)b-(b/x)a
Montrer que: u appartient à A(E) l'ensemble des endomorphismes
antisymétriques.
Ensuite on pose e1=a/N(a) , e2=b/N(b) ou N designe la norme euclidienne.
On complete cette famille pour avoir une base orthonormée de E.
Ecrire la matrice de u ds cette base.
Je n'est réussi qu'a écrire les 2 premieres colonnes en calculant u(e1), u(e2).....
Posted by: Aspx
Ben déjà u apparemment c'est un endomorphisme donc dire que u est une matrice c'est bizarre... Tu parles peut être de sa matrice associée dans la base canonique ?
Posted by: mehdi-128
OUI c'est ca,la matrice relative a u dans la base orthonormée (e1,......,en).
Posted by: Aspx
Ok donc tu considère une base de E (il en possède une car de dimension finie). D'après le principe d'orthonormalisation on peut même en obtenir une orthonormée que l'on notera
Ensuite on va décomposer a et b suivant cette base.
Ensuite on prend i et j dans [1...n] et on considère et .
Comme notre base est orthonormée . Cherchons la coordonnée sur uj de ce vecteur. Elle vaut . Quand tu cherche la coordonnée sur ui de tu va trouver exactement l'opposé. Cela montre bien que u est antisymétrique.
Posted by: mehdi-128
ah exact merci beaucoup pour l'idée.
Et pour écrire la matrice?
Posted by: Aspx
Que des zéros sauf le carré en haut à gauche
0 -N(a)
N(b) 0
Posted by: mehdi-128
je comprends pour les 2 premieres colonne j'ai calculé u(e1) et u(e2).
Ca me donne:
u(e1)=N(a)*N(b)e2
u(e2)=-N(b)*N(a)e1
Mais comment trouver les autres colonnes ?Comment sais tu que les autres colonnes sont toutes nulles?
Posted by: Aspx
Les autres sont nulles car pour i>=3 (a|ei)=0 et (b|ei)=0 car a et b s'expriment en fct de e1 et e2, orthogonaux à ei.
Posted by: mehdi-128
Ah ok merci beaucoup pour ces explications.
Posted by: fahr451
pour u antisymétrique on peut le faire directement
pour x et y quelconques
( u(x) /y ) = ( a/x) ( b/y) - (b/x) ( a/y) et si on échange x et y on a visiblement l'opposé.
et 
.
. Cherchons la coordonnée sur uj de ce vecteur. Elle vaut 
. Quand tu cherche la coordonnée sur ui de 
tu va trouver exactement l'opposé. Cela montre bien que u est antisymétrique.