soit E l'espace des fonctions continues sur [0;1] et F le sev des fonctions
polynomiales.
On définit <f,g>= int(f(t)g(t),t,0,1)
Pourquoi est-ce que la seule fonction orthogonale à tous les polynômes est
la fonction nulle ??
merci de votre aide
Posted by: Psyko Niko
"hopper" <hopper@free.fr> a écrit dans le message de
news:4167bbac$0$305$626a14ce@news.free.fr...
> bonjour,
>
> soit E l'espace des fonctions continues sur [0;1] et F le sev des
fonctions
> polynomiales.
> On définit <f,g>= int(f(t)g(t),t,0,1)
> Pourquoi est-ce que la seule fonction orthogonale à tous les polynômes est
> la fonction nulle ??
> merci de votre aide
>
Considère une fonction f continue sur [0;1] qui ne soit pas la fonction
nulle.
Elle est continue sur [0;1], donc tu peux couper [0;1] en intervalles où
cette fonction est de signe constant.
Tu peux alors construire un polynôme P qui a le même signe que f sur [0;1].
Du coup, sur [0;1], le produit f(t)P(t) est toujours positif, et c'est une
fonction continue. Donc, si ton produit scalaire est nul, c'est que ...
--
Psyko Niko
Posted by: Yves De Cornulier
> Elle est continue sur [0;1], donc tu peux couper [0;1] en intervalles où
> cette fonction est de signe constant.
Classique. C'est même faux pour certaines fonctions C^infini...
--
Yves
Posted by: Julien Santini
> > soit E l'espace des fonctions continues sur [0;1] et F le sev des
> fonctions
> > polynomiales.
> > On définit <f,g>= int(f(t)g(t),t,0,1)
> > Pourquoi est-ce que la seule fonction orthogonale à tous les polynômes
est
> > la fonction nulle ??
> > merci de votre aide
> >
>
> Considère une fonction f continue sur [0;1] qui ne soit pas la fonction
> nulle.
> Elle est continue sur [0;1], donc tu peux couper [0;1] en intervalles où
> cette fonction est de signe constant.
> Tu peux alors construire un polynôme P qui a le même signe que f sur
[0;1].
>
Non, parce que les points d'annulation ne sont pas forcément en nombre fini.
J'aurais dit par le th. de Stone-Weierstrass qu'il existe une suite de
polynôme P_n telle que |P_n(x)-f(x)| <= 1/n pour tout n et donc:
<P_n,f> = 0 pour tout n entraîne que <f,f> = 0 par continuité du produit
scalaire et alors f = 0 par continuité de f^2.
Y'a peut-être moyen de bricoler un truc plus élémentaire selon l'idée du
post précédent ...
Posted by: hopper
>Tu peux alors construire un polynôme P qui a le même signe que f sur
>[0;1].
comment ?
merci
Posted by: Yves De Cornulier
"Julien Santini" , dans le message (fr.education.entraide.maths:58484),
a écrit :
> J'aurais dit par le th. de Stone-Weierstrass qu'il existe une suite de
> polynôme P_n telle que |P_n(x)-f(x)| <= 1/n pour tout n et donc:
> <P_n,f> = 0 pour tout n entraîne que <f,f> = 0 par continuité du produit
> scalaire et alors f = 0 par continuité de f^2.
> Y'a peut-être moyen de bricoler un truc plus élémentaire selon l'idée du
> post précédent ...
Oui, dans la mesure où ce cas particulier de Stone-Weierstrass (densité
des fonctions polynômes sur un segment dans l'ensemble des fonctions
continues pour la norme du sup) est beaucoup plus élémentaire que le cas
général; il est d'ailleurs au programme de spé (mais pas sa preuve, qui
utilise les polynômes de Bernstein), sous le nom de "(premier) théorème de
Weierstrass".
--
Yves
Posted by: Psyko Niko
"Julien Santini" <santini.julien@wanadoo.fr> a écrit dans le message de
news:4167c062$0$8667$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> > > soit E l'espace des fonctions continues sur [0;1] et F le sev des
> > fonctions
> > > polynomiales.
> > > On définit <f,g>= int(f(t)g(t),t,0,1)
> > > Pourquoi est-ce que la seule fonction orthogonale à tous les polynômes
> est
> > > la fonction nulle ??
> > > merci de votre aide
> > >
> >
> > Considère une fonction f continue sur [0;1] qui ne soit pas la fonction
> > nulle.
> > Elle est continue sur [0;1], donc tu peux couper [0;1] en intervalles où
> > cette fonction est de signe constant.
> > Tu peux alors construire un polynôme P qui a le même signe que f sur
> [0;1].
> >
>
> Non, parce que les points d'annulation ne sont pas forcément en nombre
fini.
Accordé, comme quoi c'est une lointaine époque pour moi.
> Y'a peut-être moyen de bricoler un truc plus élémentaire selon l'idée du
> post précédent ...
On doit pouvoir se restreindre à un intervalle ( ou plutôt une réunion finie
d'intervalles ) inclus dans [0;1] sur lequel le nombre de zéros de f est
fini, et majorer l'erreur partant du fait que f est bornée ( continue sur un
compact ). Reste un problème : on peut facilement majorer f avant de choisir
ce sous-ensemble de [0;1], mais pour majorer ensuite le produit de f et de P
....
C'est sûr que le théorème de Stone Weierstrass est plus expéditif.
--
Psyko Niko
Posted by: Benoit Rivet
hopper <hopper@free.fr> demande:
> soit E l'espace des fonctions continues sur [0;1] et F le sev des fonctions
> polynomiales.
> On définit <f,g>= int(f(t)g(t),t,0,1)
> Pourquoi est-ce que la seule fonction orthogonale à tous les polynômes est
> la fonction nulle ??
Pour a<1/2, considère la suite de polynômes P_n(x)=b_n[(x-1)(x-1+2a)]^n
(normalisé de façon à ce que |P_n|=1).
En calculant la limite de (P_n|f) quand n tend vers l'infini, tu peux
conclure que f(a)=0.
Pour a>1/2, tu considères les polynômes P_n(x)=b_n[x(x-2a)]^n et tu
appliques exactement le même raisonnement.
--
Benoît RIVET
Posted by: hopper
merci à tous
Posted by: Llio1c
stone weierstrass nous dis que les polynomes sont denses pour la norme sup en
particulier pour la norme N1 donc toute fonction est limite de poly et si f est
ortho aux poly elle est ortho à elle meme donc vaux 0!