Produit maximal

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Posted by: BancH

Voici un exercice d'olympiades dont j'ai modifié l'énoncé pour le généraliser.

Soit N=3n+2 un entier positif, déterminer le plus grand nombre étant le produit d'entiers positifs dont la somme est égale à N.


Posted by: namfoodle sheppen

Soit S un ensemble de nombres entiers dont la somme est égale à N et dont le produit est maximal. On peut supposer que tous les éléments de S sont égaux à 2 ou 3 (en effet si on prend y€S, y>3, 2*(y-2)>=y, donc le produit est supérieur en remplacant y par (y-2,2) dans S).
Montrons maintenant que S est composé exclusivement de 3 excepté un élément. En effet S comprend forcement un 2, car N n'est pas un multiple de 3. Supposons par l'aburde que S comporte plus d'un 2. Alors le nombre de 2 appartenant à S est congru à 1 modulo 3. Comme 2^3<3^2, il y a contradiction avec le fait que S est maximal.
S est donc composé de n 3 et de un 2. Le produit est alors 3^n*2.


Posted by: BancH

Ouais bien joué, c'est exactement ça. Le plus difficile était de montrer que 3 était le facteur maximisant le produit.


Posted by: BancH

Citation:
Posté par namfoodle sheppen
si on prend y€S, y>3, 2*(y-2)>=y, donc le produit est supérieur en remplacant y par (y-2,2) dans S
Moi j'avais pensé à maximiser a dans 3$\frac {a^n}{n^a}, ou plus simplement dans 3$\frac{a^2}{2^a}, mais je ne trouve pas de méthode pour le faire.

A moins de faire comme toi, de supposer que 3 est maximisant, et de voir que l'inégalité suivante n'a pas de solutions :

3$\frac{3^2}{2^3} &lt; \frac{(3+n)^2}{2^{3+n}

Pour n=0 l'inégalité n'est pas respectée, et quand n augmente de 1, le numérateur du membre de droite augmente d'au moins 7 tandis que son dénominateur augmente seulement de 1. Lorsque n augmente le membre de droite augmente, donc quelque soit n entier, l'inégalité n'est pas respectée et 3 est donc le facteur maximisant le produit sur [3;+\infty[.

Et comme 3$ \frac{2^2}{2^2}&lt;\frac{3^2}{2^3}, on conclut.

Mais bon, j'aurais aimé ne pas avoir à faire de supposition.


Posted by: BiZi

Est-il possible d'avoir la source de cet exercice? olympiade internationale? académque? année?


Posted by: BancH

J'ai légèrement modifié l'énoncé, c'est un olympiade international de 1976.

Pourquoi as-tu besoin des sources, pour chercher la solution ou par convention?


Posted by: BiZi

Citation:
Posté par BancH
J'ai légèrement modifié l'énoncé, c'est un olympiade international de 1976.

Pourquoi as-tu besoin des sources, pour chercher la solution ou par convention?



Merci. Pour répondre à ta question, c'est toujours intéressant de savoir à quoi on s'attaque.


Posted by: BancH

Si je le remodèle entièrement, besoin des sources quand même?

Par exemple le problème d'origine c'est précisément :

"Déterminer le plus grand nombre qui est le produit d'entiers positifs dont la somme est 1976."


Mais maintenant je peux dire :

J'ai n pièces de monnaie, je veux en faire un certain nombre de tas tel que le produit de leurs hauteurs soit maximal, comment dois-je m'y prendre?


Posted by: e^x

Bonjour à tous!

Voilà, je ne saisis pas tout à fait le problème:
J'arrive à quelque chose qui n'a rien à voir... Les conditions pour que n soit correct sont que:
Citation:
N-2=3n
n=ab
a+b=N

-> n>= -2/3 -> 3n>= -2

N-2=3ab
N=a+b
(3ab=a+b-2)>= -2
a+b>=0

Où me suis-je trompé?


Posted by: BancH

C'est quoi ton problème, a+b>0? Tu pensais directement trouver le résultat?


Posted by: e^x

Non, mais cela signifierait que n peut prendre pratiquement n'importe quelle valeur, il suffit que a+b soit positif et ensuite on fait le produit des deux termes???

Serait-ce une mauvaise interprétation du problème?
Confusion de N et n?


Posted by: BancH

Dans tes calculs tu n'as pas traduit le fait que a et b doivent maximiser le produit.

Par exmple avec N=8

Tu peux faire

1x1x1x1x1x1x1x1
2x2x2x2
5x3
6x2
4x4
....

Et il faut trouver le plus grand produit.


Posted by: e^x

Ca m'avais complètement échappé!
Merci beaucoup!










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