ln(1+x/(k²-x)) equivaut à x/(k²-x)
pour x fixé donc de signe constant, abs(x/(k²-x))<= 1/(k²-1) equivaut à 1/k².
donc la serie de terme general ln(fn(x)) converge, donc la serie de terme
general (fn(x)) converge simplement sur [-1,1] ok
alors pour le caractere C1, j'aimerai utiliser le theoreme sur la derivation
des series, mais vu la tête de fn, deriver ce produit c'est pas tres jouissif,
quelle est la bonne methode?
merci
Posted by: FDH
"Wenceslas" <navilys2001@aol.com> a écrit dans le message de news: 20031128152632.08153.00000640@mb-m03.aol.com...
> Bonjour,
>
> Soit fn(x)=Prod(k²/(k²-x),k=2..n)
>
> On veut montrer que (fn) converge simplement sur [-1,1] vers f de classe
> C1.Cette convergence est elle uniforme?
>
> apres avoir vu que le terme général est de signe strictement positif, je
prend
> le log:
>
> ln(fn(x))=Sum(ln(k²/(k²-x)),k=2..n)=Sum(ln(1+x/(k²-x)),k=2..n)
>
> ln(1+x/(k²-x)) equivaut à x/(k²-x)
> pour x fixé donc de signe constant, abs(x/(k²-x))<= 1/(k²-1) equivaut à
1/k².
>
> donc la serie de terme general ln(fn(x)) converge, donc la serie de terme
> general (fn(x)) converge simplement sur [-1,1] ok
>
> alors pour le caractere C1, j'aimerai utiliser le theoreme sur la
derivation
> des series, mais vu la tête de fn, deriver ce produit c'est pas tres
jouissif,
> quelle est la bonne methode?
>
> merci
Pour montrer que la limite est C1, il suffit de montrer que la série de
terme général (ln fn)'(x) converge normalement sur [-1,1] :
Or (ln fn)'(x)=1/(k^2-x), qui est majoré par 1/(k^2-1), terme général d'une
série convergente