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Posted by: pau

Bonjour,
Je dois faire un exercice d'algèbre et j'ai quelques difficultés avec 2 questions:
Voici l'énoncé:
Soient H et K 2ss-gpes d'un groupe G.On suppose K distingué dans G
1.Déterminer le morphisme f:H->Aut(K) tel que g:K *f H->G défini par g(k,h)=kh soit un morphisme.
Montrer que Ker(g) est isomorphe à K inter H.J'ai réussi à trouver f: f=hkh-1, mais je ne sais pas comment montrer que ker g est isomorphe a K inter H.

2. Montrer que si H est distingué dans G, KH=G et H inter K={e}, alors pour tout h de H et pour tout k de K: hk=kh et G est isomorphe à K*H.

3. En déduire que si G est un groupe fini, H et K 2 sous-groupes distingués de G tels que card(H)*card(K)=card(G) et si : H inter K={e} ou HK=G alors G est isomorphe à K*H.Je ne vois pas du tout comment procéder pour la question 3.
Merci pour votre aide


Posted by: yos

Citation:
Posté par pau
le morphisme f:H->Aut(K) tel que g:K *f H->G défini par g(k,h)=kh soit un morphisme.

Cela ne veut rien dire.


Posted by: ThSQ

Je ne comprends pas le 1. non plus.

Pour le 2.
f : H x K -> G f(h,k) = hk
est clairement surjective, est injective car H inter K={e}.
h^{-1}kh \in K car K distingué pareil avec H donc re-H inter K={e}, hk=kh.
Et enfin c'est un morphisme en utilisant hk=kh.

Pour le 3.
Si H inter K={e} |HK| = |H|x|K| /|H inter K| et la conclusion suit.
Pareil dans l'autre cas.


Posted by: pau

Citation:
Posté par ThSQ
Pour le 3.
Si H inter K={e} |HK| = |H|x|K| /|H inter K| et la conclusion suit.
Pareil dans l'autre cas.

Je ne comprends pas ce que veut dire /|H inter K|, et quelle conclusion je dois en tirer.

Pour la question 1, je vais essayer de réécrire:
(soient H,K 2 sous-groupes de G. K distingué dans G)
1.Déterminer le morphisme f:H->Aut(K) tel que g:K Xf H->G (g une application qui va de K produit semi direct de la fonction f avec H dans G) défini par
g(k,h)=kh soit un mophisme.
Pour cette partie j'ai trouvé f(k)=hkh^-1.
Ensuite je n'arrive pas à montrer que Ker(g) est isomorphe à H inter K.
Pouvez-vous m'aider pour cette question, s'il vous plait


Posted by: yos

Ah oui c'est 4$ g:K\times_f H\rightarrow G (le produit semi-direct ).
Ker g est formé des couples (h,k) tels que hk=1, c'est-à-dire des couples (h,h^{-1}) avec h dans H (et donc aussi dans K).
L'isomorphisme cherché est évident Kerg \to K\cap H, (h,h^{-1}) \mapsto h. Vérifie ce qu'il faut.


Posted by: pau

Oui, mais comme je ne sais pas écrire en latex, c'était difficile à exprimer.
Merci pour ton explication Yos, il me reste juste à vérifier que c'est un isomorphisme je pense


Posted by: youssef__

Citation:
Posté par pau
Oui, mais comme je ne sais pas écrire en latex, c'était difficile à exprimer.
Merci pour ton explication Yos, il me reste juste à vérifier que c'est un isomorphisme je pense

oui totalement pour










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