Mathématiques - Le produit de 2005 nombres entiers

Le produit de 2005 nombres entiers
(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)

Posted by: raptor77

Bonjour
Un ensemble E contient 2005 nombres entiers relatifs. A chaque élément de E, on associe la somme de tous les autres éléments de E et on obtient un ensemble F constitué lui aussi de 2005 nombres entiers relatifs. On observe que E et F sont identiques. Trouver le produit de tous les termes de E.
Bonne chance.

Posted by: BancH

Salut,

0 ?

Posted by: raptor77

Désolé je viens de perdre la correction de l'exercice je peux pas confirmer

Posted by: Flodelarab

Je confirme.

Mais je ne t'ai pas volé tes corrections

Posted by: BancH

C'est malin...

Déjà, on ne peut pas facilement calculer le produit de 2005 nombres à moins de l'écrire sous la forme d'une puissance, il suffit cependant que parmis les 2005 nombres il y ait zéro pour connaître le résultat.

Pour prouver que $0\in E$ , il suffit de remarquer que si $F=E$ , alors $E$ contient autant de nombres positifs que de nombres négatifs, et si $a\in E$ alors $- a \in E$ , $2005$ étant impair, $0\in E$ et les termes de E dans l'ordre croissant sont de la forme:

$- x_{1002}$ , $- x_{1001}$ ... $- x_{2}$ , $- x_{1}$ , $0$ , $x_1$ , $x_2$ ... $x_{1001}$ , $x_{1002}$

Posted by: raptor77

C'ets bon je viens de retrouver la solution
Notons S la somme des éléments de E.

A un élément x de E, on associe l’élément y de E tel que x + y = S.

Si S/2 n’appartenait pas à E, on pourrait regrouper les éléments de E par paire ce qui contredirait le fait que Card(E) = 2005 impair.

Quitte à renuméroter les éléments, on peut supposer que E = {e1, …, e2005} de manière à ce que ei + e2006-i = S pour tout i = 1..1003.

En particulier, en sommant cette égalité pour i=1..1003, on obtient S + e1003 = 1003S.

Sachant que 2*e1003 = S, on en déduit que S = e1003 = 0 et donc le produit des éléments de E est nul.

Posted by: BancH

J'ai fait une erreur:

Citation:

Posté par BancH

si $a\in E$ alors $- a \in E$

J'aurais dû écrire: la somme des termes positifs de E est égale à l'opposée de la somme de ses termes négatifs.

Citation:

Posté par BancH

$- x_{1002}$ , $- x_{1001}$ ... $- x_{2}$ , $- x_{1}$ , $0$ , $x_1$ , $x_2$ ... $x_{1001}$ , $x_{1002}$

Donc ça aussi c'est faux, mais le résultat reste le même.