processus stochastique gaussien

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Posted by: snotocs

bonjour,
je galere pour faire un petit exercice de cours sur les processus stochastique.

on a un processus stochastique gaussien stationnaire au 2nd ordre centré Xt.

On me demande

1) la loi de proba de la variable aléatoire Xt pour un instant t donné ( on donnera sa densité de proba).
2) la loi de proba du couple (Xt1, Xt2) ( on donnera sa densité de proba).
3)Peut on dire que le signal est stationnaire au sens strict?

Ce que je pense :

1)(Xt1 , ...Xtn) vecteur gaussien quelque soit n,t1,tn par conséquent chaque Xtk est gaussien, de plus comme Xt est centré E(Xtk)=0 qqe soit k.

donc la densité de proba est celle d'une gaussienne centré, d'ecart type sigma (sigma non constant selon moi )

2) je ne sais pas comment proceder

3) Un processus stationnaire au second ordre n'est pas forcément stationnaire au sens stric sauf pour une processus gaussien.

j'aimerais votre avis sur la rigeur de tout sa ?


Posted by: BQss

Salut(processus stationnaire du second ordre veut-il dire faiblement stationnaire? si oui voila mes reponses):

1)oui mais sigma est constant, car la covariance de Xs Xt est constante et donc par definition la variance aussi.

2)pour un processus gaussien, tout les vecteurs sont gaussiens, ce processus est entierement par ailleurs caractérisé par sa covariance et son esperance qui de part la faible stationnarité sont constants:
Xt1 Xt2 est donc gaussien d'esperance (0,0)^t et de matrice de covariance C, 2*2, avec cov(X_i,X_j)=C_{i,j}( Ou C est la matrice de covariance associée au processus (X_i)


3) oui ici c'est strictement stationnaire(attention pas sauf pour un gaussien si on a d'autres hypotheses, juste que pour les gaussiens ca marche). Comme la cov et l'esp sont constantes et qu'elles caracterisent tout vecteur gaussien, on a en effet bien la reciproque.


Posted by: snotocs

alors pour mon prof la stationnarité au second ordre est definie comme ceci :

1) E(Xt) ne depend pas de t
2) E(Xt1.Xt2) ne depend que de t2-t1

est-ce equivalent je plancherais sur tout ceci a mon reveil demain merci BQss


Posted by: BQss

Citation:
Posté par snotocs
alors pour mon prof la stationnarité au second ordre est definie comme ceci :

1) E(Xt) ne depend pas de t
2) E(Xt1.Xt2) ne depend que de t2-t1

est-ce equivalent je plancherais sur tout ceci a mon reveil demain merci BQss


Oui c'est tout a fait ca alors.
1) et 2) reviennent aussi a:

1) E(X_t)=constante
2) cov(X_{t_1},X_{t_2})=cov(X_{t_1+n},X_{t_2+n})

PS:Quand j'ai dit ca:
"1)oui mais sigma est constant, car la covariance de Xs Xt est constante et donc par definition la variance aussi.", il faut comprendre cov(Xs,Xt) constante pour un t-s constant bein sur. Donc en prenant t=s, t-s=0=constante, cov(Xs,Xt)=V(Xt)=constante, d'ou le fait que sigma soit constant.


Posted by: snotocs

Tes precision m'ont étaient tres utiles car j'avais grand mal a comprendre sur le coup! je viens de comprendre reellement ce qu'est un processus stationnaire ! (enfin j'espere ! lol )

Par contre pour la réponse a la question 2) si j'ai bien compris tes explication la densité de proba du couple serais une gaussienne centré de matrice de variance co variance Ci,j tout simplement !?

Derniere petite question : la fonction d'autocorrelation est en faites Cov(Xi,Xj) , peut-on associé cette fonction à cette matrice Ci,j ?

merci pour ton aide










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