On considère le s.e.v F de R^4 défini par le systeme d'équations cartésiennes :
{ x + y + z + t = 0
{ x +2y+3z+4t = 0
1) Déterminer une base orthonormale de F
2) Déterminer la matrice, dans la base canonique B=(e1,e2,e3,e4) de R^4 de la symétrie orthogonale sF par rapport à F
a) Méth 1: En la donnant d'abord dans une base judicieuse de R^4 (orthonormale obtenue en complétant la base de F par une base de F ortho) puis en faisant un changement de base et en utilisant A = P x D x P^-1
b) Méth 2: En remarquant que s(x)=2p(x)-x avec p prjection orthogonale sur F
3) pour x donné de R^4, calculer d(x,F)=d(x,p(x)) = || x - p(x) ||
on posera x = (a,b,c,d)
J'suis bloqué dès la première question, je narrive pas à déterminer une base orthonormale de F
Merci bien
Posted by: tbotw69
Tout d'abord, il faut trouver une base du s.e.v : il suffit d'exprimer par exemple x et y en fonction de z et t. Je trouve, si je ne me suis pas planté, en faisant la ligne 2 moins la ligne 1,
y + 2z + 3t = 0
x = -y -z -t
D'où
y = -2z -3t
x = z + 2t
Donc F = Vect ( (1,-2,1,0),(2,-3,0,1))
Ensuite, tu normalises le 1er vecteur (divisant par sa norme) et tu obtiens le premier vecteur de ta base orthonormale. Ensuite, tu appliques le procédé d'orthonormalisation de Schimdt pour trouver le 2e.
Je suppose que tu souhaites qu'on te laisse faire la suite ?
Posted by: jeanpaul88
Merci, j'ai trouvé la base orthogonale, mais je n'arrive pas à faire les autres questions, je comprends pas du tout ce qu'il faut faire
Posted by: tbotw69
Il faut calculer s(e1) puis s(e2) etc ...où e1 = (1,0,0,0) e2 = (0,1,0,0) mais c'est vrai que c'est un peu galère vu que ces vecteurs, on sait pas trop s'ils sont dans F ou F orthogonale ... (ou dans les deux).
Avec la base orthogonale que tu as trouvé de F : utilise la méthode b), pour completer en une base de R^4 (c'est toujours le procédé de Schmidt)
Ensuite, symétrie orthogonale, donc par rapport à F, il faudrait calculer les images des vecteurs de la base ortho de tout R^4 ... je crois qu'il y a une formule tout faite pour exprimer une symétrie simplement (je la connais pas par coeur). Une fois que tu as ces images, tu as la matrice de s dans la base ortho. Donc suffit d'utilise la matrice de passage de la base ortho à la base cano, matrice connue (vu qu'on connait les vecteurs de la base ortho dans la cano, il suffit d'inverser la matrice).
