Mathématiques - Problèmes de probabilité !!

Problèmes de probabilité !!
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Posted by: Non inscrit

Bonjour, j'ai quelques problèmes concernant des preuves.En fait, il y a trois preuves pour lesquels je n'arrive tout simplement pas a trouver. Les voicis :
∑(de i=0 a n) ((-1)^i)*(combinaison de i dans n)=0 ?? Voici la deuxième : ∑(de i=0 a n) (combinaison de i dans n)^2 = (combinaison de n dans 2n). ?? Et voici la troisième : ∑(de i=0 a n) (combinaison de (n-i) dans (n-i+r-2) = (combinaison de n dans (n+r-1)) , r>ou= a 2. Voici 2 autres questions pour lesquels je ne suis pas sur de ma réponse : On pige n boules parmi N boules distinctes 2<ou=n<ou=N et notons par S l'ensemble fondamental de cette expérience. Soit s ε S et k1, k2 deux boules dans s, on considère les évenements A et B suivants: A : l'événement de n boules est s, B: l'échantillon contient les boules k1 et k2. Montrez que : P(A|B)=(1/(Combinaison de (n-2)dans (N-2)) ??? Merci beaucoup de m'aider Ritch. :D

Posted by: Chimerade

Citation:

Posté par Non inscrit

Bonjour, j'ai quelques problèmes concernant des preuves.En fait, il y a trois preuves pour lesquels je n'arrive tout simplement pas a trouver. Les voicis :
∑(de i=0 a n) ((-1)^i)*(combinaison de i dans n)=0 ?? Voici la deuxième : ∑(de i=0 a n) (combinaison de i dans n)^2 = (combinaison de n dans 2n). ?? Et voici la troisième : ∑(de i=0 a n) (combinaison de (n-i) dans (n-i+r-2) = (combinaison de n dans (n+r-1)) , r>ou= a 2. Voici 2 autres questions pour lesquels je ne suis pas sur de ma réponse : On pige n boules parmi N boules distinctes 2<ou=n<ou=N et notons par S l'ensemble fondamental de cette expérience. Soit s ε S et k1, k2 deux boules dans s, on considère les évenements A et B suivants: A : l'événement de n boules est s, B: l'échantillon contient les boules k1 et k2. Montrez que : P(A|B)=(1/(Combinaison de (n-2)dans (N-2)) ??? Merci beaucoup de m'aider Ritch. :D

La formule du binôme de Newton dit que :

$\Large (a+b)^n = \sum_{i=0}^{n} a^{n-i}b^i C_n^i = (1-1)^n = 0^n = 0$
En choisissant a=1 et b=-1 on trouve :
$\Large \sum_{i=0}^{n} (-1)^i C_n^i = (1-1)^n = 0^n = 0$
_________________________________________
Soit à montrer que $\Large \sum_{i=0}^{n} (C_n^i)^2 = C_{2n}^{n}$

Pour cette question on peut imaginer un problème et y répondre de deux façons différentes. Numérotons 2n boules de 1 à 2n. Et cherchons le nombre de façons d'en choisir n. La réponse est $\Large C_{2n}^n$
A présent, détaillons : parmi ces combinaisons, combien d'entre elles contiennent 0 boules de numéro pair et n boules de numéro impair ?
Réponse $\Large C_n^0 \times C_n^n$ puisqu'il faut choisir 0 boules parmi les n boules de numéros pairs et n boules parmi les n boules de numéros impairs.
Parmi ces combinaisons, combien d'entre elles contiennent 1 boules de numéro pair et n-1 boules de numéro impair ?
Réponse $\Large C_n^1 \times C_n^{n-1}$ puisqu'il faut choisir 1 boules parmi les n boules de numéros pairs et n-1 boules parmi les n boules de numéros impairs.
...
Parmi ces combinaisons, combien d'entre elles contiennent i boules de numéro pair et n-i boules de numéro impair ?
Réponse $\Large C_n^i \times C_n^{n-i}$ puisqu'il faut choisir i boules parmi les n boules de numéros pairs et n-i boules parmi les n boules de numéros impairs.
...
Parmi ces combinaisons, combien d'entre elles contiennent n boules de numéro pair et n-n boules de numéro impair ?
Réponse $\Large C_n^n\times C_n^{n-n}$ puisqu'il faut choisir n boules parmi les n boules de numéros pairs et n-n boules parmi les n boules de numéros impairs.

Nous avons tout vu car dans une combinaison de n boules il y a forcément un certain nombre i de boules de numéro pair (avec $\Large 0 \le i \le n$ ) et (n-i) boules de numéros impair. Par conséquent la somme de ces nombres détaillés est bien égale à la valeur globale $\Large C_{2n}^n$ calculée au début.

Il en résulte que :

$\Large \sum_{i=0}^{n} C_n^iC_n^{n-i} = C_{2n}^{n}$

Mais on sait par ailleurs que $\Large C_n^{n-i} = C_n^{i}$ donc :

$\Large \sum_{i=0}^{n} (C_n^i)^2 = C_{2n}^{n}$

_________________________________________
Soit à montrer que $\Large \sum_{i=0}^{n} C_{n-i+r-2}^{n-i} = C_{n+r-1}^{n}$ , $\Large r\ge 2$

Cette formule est une conséquence directe de la propriété fondamentale suivante :

$\Large C_n^p = C_{n-1}^p + C_{n-1}^{p-1}$

Observons le triangle de Pascal. Cette propriété se traduit par le fait que chaque nombre du triangle est égal à la somme du nombre situé au dessus de lui et du nombre situé immédiatement à gauche de ce dernier. Par exemple :
sue la dernière ligne, le nombre 20 ets égal à la somme des deux nombres 10 et 10 situés au dessus de lui. Mais à son tour le premier 10 est la somme de 6 situé au dessus et de 4 ; ensuite le 4 est la somme de 3 et de 1 et enfin 1 est la somme du 1 situé au dessus de lui et d'un nombre extérieur au triangle qui est supposé être nul. Finalement chaque nombre est la dsomme de tous les nombres situés sur une ligne diagonale commençant avec le nombre situé au dessus de lui et se terminant sur la colonne de gauche.

20 = 10 + 6 + 3 + 1
15 = 10 + 4 + 1 (le premier 15 de la dernière ligne ci-dessous)
15 = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 (le deuxième 15 de la dernière ligne)

$\Large \begin{tabular}{rrrrrrrrrr} &1\\ &1 &1\\ &1 &2 &1\\ &1 &3 &3 &1\\ &1 &4 &6 &4 &1\\ &1 &5 &10 &10 &5 &1\\ &1 &6 &15 &20 &15 &6 &1\\ \end{tabular}$

Par conséquent, cette formule peut être démontrée par récurrence :

$\Large C_{n+r-1}^{n}=C_{n+r-2}^{n}+C_{n+r-2}^{n-1}$
$\Large C_{n+r-1}^{n}=C_{n+r-2}^{n}+C_{n+r-3}^{n-1}+C_{n+r-3}^{n-2}$
$\Large \Large C_{n+r-1}^{n}=C_{n+r-2}^{n}+C_{n+r-3}^{n-1}+C_{n+r-4}^{n-2}+C_{n+r-4}^{n-3}$

On peut écrire pour plus de clarté :

$\Large C_{n+r-1}^{n}=C_{n+r-2}^{n}+C_{n-1+r-2}^{n-1}+C_{n-2+r-2}^{n-2}+C_{n-2+r-2}^{n-3}$

Et finalement :

$\Large \sum_{i=0}^{n} C_{n-i+r-2}^{n-i} = C_{n+r-1}^{n}$