Mathématiques - [PDF] Problèmes d'optimisation

[PDF] Problèmes d'optimisation
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Posted by: Zweig

Bonjour,

Pour ceux que ça intéressent, je mets à disposition un PDF que j'ai écrit regroupant de jolis problèmes d'optimisation (n'hésitez pas à consulter le glossaire figurant à la fin du PDF pour connaître certains théorèmes qui pourront vous être utiles dans la résolution de certains problèmes).

Le PDF n'est pas encore finalisé et il se peut que certaines solutions comportent des erreurs, merci de me les signaler.

http://pruno.dagen.free.fr/problemes_extrema.pdf

Posted by: lapras

Franchement : Bravo !
C'est excellent ton PDF, j'aime bien quand les problèmes sont soigneusement classés au propre, je vais essayer d'en faire quelques un ! (en plus ca m'entraînera pour les O.A)

Posted by: Zweig

Merci

J'y ai passé beaucoup de temps, que ce soit dans la rédaction ou dans la tracé des figures. Content que ça plaise à quelqu'un !

Posted by: _-Gaara-_

C'est stylé tout çà :D Merci pour partager ce magnifique PDF (même s'il me faudra un peu de temps pour le comprendre)

Posted by: Imod

En voici deux autres que tu pourras ajouter à ta collection , le premier en tout cas ( je ne sais pas si le deuxième a une solution simple ) .
1°) M est un point donné d'un secteur angulaire xOy , une droite (D) passant par M coupe [Ox) et [Oy) en A et B . Comment choisir (D) pour que l'aire du triangle ABO soit minimale ?
2°) Extremum problem

Imod

Posted by: Zweig

Salut Imod,

Je connaissais la variante suivante :

Soient xOy un angle donné et P un point donné à l'intérieur de cet angle. Trouver les points A € (Ox) et B € (Oy) de sorte que le périmètre du triangle PAB soit minimal.

Je chercherais ta variante demain si j'ai du temps

Posted by: Zweig

Bonjour Imod,

Je te propose ma solution pour le 1)

$A(ABO) = \frac{OA\cdot OB\cdot \sin \widehat{O}\cdot}{2}$

Puisque l'angle est donné, alors l'aire est minimale lorsque le produit $OA\cdot OB$ est minimal.

Soient les points L et M appartenant respectivement à (OA) et (OB) de sorte que (PL) // (OB) et (PM) // (OA). Ainsi, les triangles LPA et OBA sont semblables, d'où $OA = \frac{AB}{BP}\cdot PM$ . D'une manière analogue, nous obtenons $OB = \frac{AB}{AP}\cdot PL$ . D'où

$OA\cdot OB = \frac{PM\cdot PL}{\frac{BP}{AB}\cdot \frac{AP}{AB}}$

Puisque PM et PL sont indépendants du choix de la droite passant par P, alors $OA\cdot OB$ est minimal lorsque $\frac{BP}{AB}\cdot \frac{AP}{AB}$ est maximal.

On pose $x = \frac{BP}{AB}$ et $y = \frac{AP}{AB}$ . Clairement, $x + y = 1$ , et l'inégalité arithmético-géométrique fournit :

$\frac{1}{2} = \frac{x+y}{2} \geq sqrt{xy}$ , d'où $xy \leq \frac{1}{4}$ , avec égalité lorsque $x = y$ , i.e, $BP = AP$ .

Ainsi, la droite doit être construite de sorte que AP : BP = 1. Il est clair qu'il n'existe qu'une unique droite vérifiant cette propriété.

Posted by: Imod

Une "démonstration" sans calcul ( OAO'B est un parallélogramme ) .

http://img142.imageshack.us/img142/...minimaleef2.jpg

Imod

Posted by: Zweig

Pas mal

Posted by: Zweig

As-tu cherché ma variante ?

Je planche sur le problème 2).

Posted by: Imod

Citation:

Posté par Zweig

As-tu cherché ma variante ?

Je jette un coup d'oeil mais j'ai a peine une demi-heure devant moi et je suis très lent

Imod

Posted by: Zweig

Citation:

Posté par Imod

1°) M est un point donné d'un secteur angulaire xOy , une droite (D) passant par M coupe [Ox) et [Oy) en A et B . Comment choisir (D) pour que l'aire du triangle ABO soit minimale ?

Tiens, je viens d'inventer une petite variante :

P est un point donné d'un secteur angulaire xOy, une droite (D) passant par P coupe [Ox) et [Oy) en A et B respectivement. Déterminer la position de (D) de sorte que [ $A(ABO)]^p$ soit minimale, $p$ un entier naturel donné.

Posted by: Imod

Je ne suis pas sûr de comprendre le nouveau problème , les aires étant positives : $A<B \Leftrightarrow A^n<B^n$ .

Imod

Posted by: Imod

J'ai "enfin" trouvé ( je crois ) le problème du périmètre minimum dans l'angle : on donne un point P dans un angle xÂy et on cherche une droite passant par P coupant [Ax) et [Ay) en Q et R de façon à ce que le périmètre de AQR soit minimal .

http://img219.imageshack.us/img219/...minimum1ci8.jpg

On considère [QR] passant par P et (C) le cercle exinscrit relatif à A du triangle AQR . Ce cercle est tangent à [Ax) et [Ay) en Q' et R' et le périmètre $P$ de AQR est égal à AQ'+AR' = 2.AQ'= 2.AR' . $P$ est donc minimal quand le centre du cercle est le plus près possible de P c'est à dire quand le cercle passe par P . Pour contruire le triangle avec $P$ minimum il suffit de tracer le cercle (C) passant par P et tangent au côtés de l'angle ( celui dont le centre est "à droite" de P ) et de tracer la tangente à (C) en P .

http://img219.imageshack.us/img219/...minimum2ds3.jpg

Imod