Problèmes Nombres complexes

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Posted by: Youkil

Bonjour
j'ai un dm en math et je n'arrive pas a faire un exercices
Voici lexercice:
__________________________________________________ __________
On se propose de résoudre dans C le système (S)
( x^n=1
( (x-1)^n=1

Vérifier que si x est est une solution du sytème, le conjugué /x aussi.
Montrer que si est x une solution du système, alors |x|=|x-1|=1. En déduire que (S) admet au plus deux solutions que lon calculera.
Répondre alors à la question posée au depart.
__________________________________________________ __________

J'ai réussi a montrer |x|=|x-1|=1
en resolvant l'equation x^n=1 ----------> x=e^(i2kpi) -----> donc |x|=1

Or on a (x)^n=(x-1)^n donc |x|=|x-1| car le module est positif
donc on a |x|=|x-1|=1.

Mais je n'arrive pas a en deduire que le système admet au plus deux solutions

Merci d'avance pour votre aide
Youkil


Posted by: Chimerade

Citation:
Posté par Youkil
Bonjour
j'ai un dm en math et je n'arrive pas a faire un exercices
Voici lexercice:
__________________________________________________ __________
On se propose de résoudre dans C le système (S)
( x^n=1
( (x-1)^n=1

Vérifier que si x est est une solution du sytème, le conjugué /x aussi.
Montrer que si est x une solution du système, alors |x|=|x-1|=1. En déduire que (S) admet au plus deux solutions que lon calculera.
Répondre alors à la question posée au depart.
__________________________________________________ __________

J'ai réussi a montrer |x|=|x-1|=1
en resolvant l'equation x^n=1 ----------> x=e^(i2kpi) -----> donc |x|=1

Or on a (x)^n=(x-1)^n donc |x|=|x-1| car le module est positif
donc on a |x|=|x-1|=1.

Mais je n'arrive pas a en deduire que le système admet au plus deux solutions

Merci d'avance pour votre aide
Youkil


Si \Large x^n=1 alors \Large x=e^{\frac{2i\pi k}{n}} pour une des n valeurs de k : 0, 1,... n-1
Si \Large (x-1)^n=1 alors \Large x-1=e^{\frac{2i\pi l}{n}} pour une des n valeurs de l : 0, 1,... n-1

Tu dois donc trouver à quelles conditions l'une des racine n-ièmes de l'unité est égale à une autre -1. Raisonne sur les sinus, puis sur les cosinus...


Posted by: Galt

Si |x|=1 c'est que x est sur le cercle de centre 0 et de rayon 1. Si |x-1|=1 c'est que x est sur le cercle de centre 1 et de rayon 1.
Donc ...










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