bonjour
j ai un exercice qui m ennui
quelqu un pourrai-t-il m aider???
Soit 0<a<b et les suite (Un) et (Vn) définies par:
Uo=a
Vo=b
Un+1=(Un+Vn)/2
Vn+1=racine carrée de (Vn*Un+1)
Montrer que les suites (Un) et (Vn) convergent vers une limite commune
et exprimer cette limite à l'aide de l'unique réel alpha tel que
cos alpha=a/b
Merci de votre aide :-)
Posted by: Michel.Tanguy
suites adjacentes puis on regarde ce qui se passe dans les relations de
recurrence avec a = b cos (alpha) en utilisant 1 +cos (alpha ) = 2
cos²(lpha/2)
"Banania" <a@a.a> a écrit dans le message de
news:bpijkl$dbc$1@news-reader4.wanadoo.fr...
> bonjour
> j ai un exercice qui m ennui
> quelqu un pourrai-t-il m aider???
>
> Soit 0<a<b et les suite (Un) et (Vn) définies par:
>
> Uo=a
> Vo=b
> Un+1=(Un+Vn)/2
> Vn+1=racine carrée de (Vn*Un+1)
>
> Montrer que les suites (Un) et (Vn) convergent vers une limite commune
> et exprimer cette limite à l'aide de l'unique réel alpha tel que
> cos alpha=a/b
>
> Merci de votre aide :-)
>
>
Posted by: Maxi
"Banania" a écrit
> Soit 0<a<b et les suite (Un) et (Vn) définies par:
>
> Uo=a
> Vo=b
> Un+1=(Un+Vn)/2
> Vn+1=racine carrée de (Vn*Un+1)
>
> Montrer que les suites (Un) et (Vn) convergent vers une limite commune
> et exprimer cette limite à l'aide de l'unique réel alpha tel que
> cos alpha=a/b
Il se pourrait qu'elles soient adjacentes.
--
Maxi
Posted by: Jeremi
oui j ai reussi a montrer qu elles le sont
reste a trouver la limite :-)
"Maxi" <julien.freslon@polyetchnique.fr> a écrit dans le message de news:
3fbcd654$0$27038$626a54ce@news.free.fr...
> "Banania" a écrit
>
> > Soit 0<a<b et les suite (Un) et (Vn) définies par:
> >
> > Uo=a
> > Vo=b
> > Un+1=(Un+Vn)/2
> > Vn+1=racine carrée de (Vn*Un+1)
> >
> > Montrer que les suites (Un) et (Vn) convergent vers une limite commune
> > et exprimer cette limite à l'aide de l'unique réel alpha tel que
> > cos alpha=a/b
>
> Il se pourrait qu'elles soient adjacentes.
>
> --
> Maxi
>
>
Posted by: Jeremi
> suites adjacentes puis on regarde ce qui se passe dans les relations de
> recurrence avec a = b cos (alpha) en utilisant 1 +cos (alpha ) = 2
> cos²(lpha/2)
ok elles sont adjacentes, pour ca y a pas de pb
mais pour calculer la limite en fonction de alpha je voit pas comment
faire...
je vai encore chercher mais....
Posted by: Jérémie Rocher
> Soit 0<a<b et les suite (Un) et (Vn) définies par:
>
> Uo=a
> Vo=b
> Un+1=(Un+Vn)/2
> Vn+1=racine carrée de (Vn*Un+1)
>
> Montrer que les suites (Un) et (Vn) convergent vers une limite commune
> et exprimer cette limite à l'aide de l'unique réel alpha tel que
> cos alpha=a/b
Si U et V convergent vers une limite commune, le premier membre tend
vers 0 et le second vers 1. C'est pas un peu embêtant ?
Et puis, c'est bête, mais aussi : des réels apha tels que
cos(alpha)=a/b, il y en a une infinité !
--
Jérémie Rocher
Posted by: thn
"Jérémie Rocher" <jeremie.rocher_nospamplease@crans.org> a écrit dans le
message de news:bpisc6$sg0$1@discovery.ens-cachan.fr...
> > Soit 0<a<b et les suite (Un) et (Vn) définies par:
> >
> > Uo=a
> > Vo=b
> > Un+1=(Un+Vn)/2
> > Vn+1=racine carrée de (Vn*Un+1)
> >
> > Montrer que les suites (Un) et (Vn) convergent vers une limite commune
> > et exprimer cette limite à l'aide de l'unique réel alpha tel que
> > cos alpha=a/b
>
> C'est ennuyeux effectivement :
>
> V[n+1]^2 - U[n+1]^2 = 1 - (U[n]^2+V[n]^2-2V[n]U[n]) / 4,
> soit V[n+1]^2 - U[n+1]^2 = 1 - ( (U[n]-V[n])/2 )^2
>
> Si U et V convergent vers une limite commune, le premier membre tend
> vers 0 et le second vers 1. C'est pas un peu embêtant ?
>
> Et puis, c'est bête, mais aussi : des réels apha tels que
> cos(alpha)=a/b, il y en a une infinité !
merci le troll non ?
Posted by: Jérémie Rocher
> > Si U et V convergent vers une limite commune, le premier membre tend
> > vers 0 et le second vers 1. C'est pas un peu embêtant ?
> >
> > Et puis, c'est bête, mais aussi : des réels apha tels que
> > cos(alpha)=a/b, il y en a une infinité !
>
> merci le troll non ?
????
Pourquoi ? Je ne vois pas de troll. L'énoncé est faux, c'est tout. S'il
faut
comprendre autre chose je ne l'ai pas compris. Et ce que j'ai dit
ci-dessus
n'a rien de polémique ni de méchant, il me semble.
--
Jérémie Rocher
enlever "_nospamplease" pour me répondre
Posted by: Osiris
Jérémie Rocher wrote:
>>Soit 0<a<b et les suite (Un) et (Vn) définies par:
>>Uo=a
>>Vo=b
>>Un+1=(Un+Vn)/2
>>Vn+1=racine carrée de (Vn*Un+1)
>>Montrer que les suites (Un) et (Vn) convergent vers une limite commune
>>et exprimer cette limite à l'aide de l'unique réel alpha tel que
>>cos alpha=a/b
peux tu DETAILLER le calcul stp ?
il me semble qu'un U_(n+1) s'est évaporé...
Posted by: Jeremi
personne n a d idée pour trouver cette limite????
"Banania" <a@a.a> a écrit dans le message de news:
bpijkl$dbc$1@news-reader4.wanadoo.fr...
> bonjour
> j ai un exercice qui m ennui
> quelqu un pourrai-t-il m aider???
>
> Soit 0<a<b et les suite (Un) et (Vn) définies par:
>
> Uo=a
> Vo=b
> Un+1=(Un+Vn)/2
> Vn+1=racine carrée de (Vn*Un+1)
>
> Montrer que les suites (Un) et (Vn) convergent vers une limite commune
> et exprimer cette limite à l'aide de l'unique réel alpha tel que
> cos alpha=a/b
>
> Merci de votre aide :-)
>
>
Posted by: Jérémie Rocher
AAHHHRGH ! Je viens de comprendre ! Dans V[n+1] j'avais
compris racine(U[n]V[n] + 1) !!!!
Toutes mes excuses vraiment.
Merci thn, merci Osiris d'avoir insisté.
Donc c'est racine(V[n]U[n+1]). Ouf, c'est plus classique, c'est un
truc du genre moyenne arithmético-géométrique.
Effectivement, c'est des suites adjacentes, d'où la convergence vers une
limite commune.
pour le alpha, il y en a bien plus d'un mais on s'en moque :
a=b cos(alpha)=U[0], on divise tous les termes par b pour faire
propre... u[n]=U[n]/b, v[n]=V[n]/b vérifient les mêmes relations
de récurrence. Puis ensuite c'est de la trigo classique, avec
cos(2x)=2cos^2(x)-1.
On peut montrer par récurrence que
v[n]=cos(alpha/2)*cos(alpha/4)*...*cos(alpha/2^n)
ce que l'on peut aussi écrire... autrement par les formules du type
cos(x)cos(y)=1/2(cos(x+y)+cos(x-y)).
Il me semble qu'on trouve
1/2^n (cos(alpha/2^n)+cos(3alpha/2^n)+...+cos((2^n-1)alpha/2^n))
ce qui ressemble à une somme de Riemann.
On tendrait alors vers l'intégrale de cosinus sur [0,alpha], c'est à
dire
sin(alpha) : la limite commune de U et V serait b.sin(alpha).
--
Jérémie Rocher
enlever "_nospamplease" pour me répondre
Posted by: Jeremi
tu pourrai m expliquer tes relations de recurrence???
parceque je voit pas comment t'arrive la???
comment tu fait pour exprimer Vn sans Un dedans???
Merci pour ton aide...
"Jérémie Rocher" <jeremie.rocher_nospamplease@crans.org> a écrit dans le
message de news: bpj11l$tqs$1@discovery.ens-cachan.fr...
> AAHHHRGH ! Je viens de comprendre ! Dans V[n+1] j'avais
> compris racine(U[n]V[n] + 1) !!!!
>
> Toutes mes excuses vraiment.
>
> Merci thn, merci Osiris d'avoir insisté.
>
> Donc c'est racine(V[n]U[n+1]). Ouf, c'est plus classique, c'est un
> truc du genre moyenne arithmético-géométrique.
>
> Effectivement, c'est des suites adjacentes, d'où la convergence vers une
> limite commune.
>
> pour le alpha, il y en a bien plus d'un mais on s'en moque :
> a=b cos(alpha)=U[0], on divise tous les termes par b pour faire
> propre... u[n]=U[n]/b, v[n]=V[n]/b vérifient les mêmes relations
> de récurrence. Puis ensuite c'est de la trigo classique, avec
> cos(2x)=2cos^2(x)-1.
>
> On peut montrer par récurrence que
> v[n]=cos(alpha/2)*cos(alpha/4)*...*cos(alpha/2^n)
> ce que l'on peut aussi écrire... autrement par les formules du type
> cos(x)cos(y)=1/2(cos(x+y)+cos(x-y)).
>
> Il me semble qu'on trouve
> 1/2^n (cos(alpha/2^n)+cos(3alpha/2^n)+...+cos((2^n-1)alpha/2^n))
> ce qui ressemble à une somme de Riemann.
> On tendrait alors vers l'intégrale de cosinus sur [0,alpha], c'est à
> dire
> sin(alpha) : la limite commune de U et V serait b.sin(alpha).
>
> --
> Jérémie Rocher
> enlever "_nospamplease" pour me répondre
>
Posted by: Jérémie Rocher
> tu pourrai m expliquer tes relations de recurrence???
> parceque je voit pas comment t'arrive la???
> comment tu fait pour exprimer Vn sans Un dedans???
> Merci pour ton aide...
Bon, d'abord le résultat (je sais c'est pas classique) : je me suis
trompé : c'est la moyenne de cos sur [0,alpha], pas son intégrale,
soit sin(alpha)/alpha, en supposant (je ne l'avais pas précisé) alpha
le plus petit possible.
Bon, je recommence :
Je note u=U/b et v=V/b. Soit alpha le seul réel de ]0, pi/2[ tel que
cos(alpha)=a/b. Je te rappelle (ça servira, même si je ne l'indique
plus) que tout x de ]0,pi/2[ a un sinus et un cosinus positifs.
u[0]=cos(alpha)
v[0]=1
Jusque là pas de problème.
Regardons ce qu'il se passe pour les premiers termes :
u[1] = (1+cos(alpha))/2 = cos(alpha/2)^2
selon une formule classique de trigo, car 0<alpha<pi/2.
v[1] = racine(1*u[1]) = cos(alpha/2).
Puis
u[2]= (u[1]+v[1])/2 = cos(alpha/2)*(1+cos(alpha/2))/2
soit en appliquant la même formule que précédemment
u[2]=cos(alpha/2)*cos(alpha/4)^2
et
v[2]=racine(cos(alpha/2)^2 * cos(alpha/4)^2) , soit
v[2]=cos(alpha/2)*cos(alpha/4)
En fait, on montre par récurrence "facile" (en calquant le calcul
ci-dessus)
que pour tout n>0
v[n]=cos(alpha)/2*cos(alpha/4)*...*cos(alpha/2^n)
et que u[n]=v[n]*cos(alpha/2^n)
Cette partie là, je te la laisse, je ne vais pas tout faire, hein ?
Le problème, ensuite, c'est que sous cette forme là la limite n'apparaît
pas facilement. Il faut trouver un moyen astucieux de mettre ce produit
sous une forme plus sympathique. Par exemple, de le transformer en
somme, ce qui est possible.
En effet une autre formule classique de trigo donne :
cos(alpha/2)*cos(alpha/4) = (cos(alpha/4)+cos(3*alpha/4))/2
et par une autre récurrence (là encore, bon travail !)
v[n]=(1/2^(n-1))*somme(cos((2*k+1)*alpha/2^n) , k de 0 à 2^(n-1)-1)
(en partant de cette formule vraie pour v[n-1], tu utilises
v[n]=cos(alpha/2^n)*v[n-1] et c'est juste de l'application de formules).
Peut-être que ça t'a l'air compliqué comme forme pour v[n], mais en
fait,
si tu as déja vu les sommes de Riemann (sinon, aïe aïe aïe), tu sais que
alpha*(1/N)*somme(cos((k+1/2)*alpha/N) , k de 0 à N-1)
tend, quand N tend vers l'infini, vers l'intégrale de cosinus entre 0 et
alpha.
(alpha*v[n])[n] est une suite extraite de cette dernière, donc a la même
limite.
Finalement lim U = lim V = b * lim v = b * sin(alpha)/alpha.
Je ne vois pas de solution au problème sans sommes de Riemann, mais il y
a
peut-être une astuce !
--
Jérémie Rocher
enlever "_nospamplease" pour me répondre.
Posted by: Dominique Sourie
On peut se passer des sommes de Riemann....
Multiplier l'expression v[n]=cos(alpha)/2*cos(alpha/4)*...*cos(alpha/2^n)
par sin(alpha/2^n) des deux côtés et reconnaitre sin(2x)=2sin(x)cos(x)
v[n]*sin(alpha/2^n)
=cos(alpha)/2*cos(alpha/4)*...cos(alpha/2^(n-1))*cos(alpha/2^n)*sin(alpha/2^
n)
v[n]*sin(alpha/2^n)
=cos(alpha)/2*cos(alpha/4)*...cos(alpha/2^(n-1))*sin(alpha/2^(n-1))/2
....
v[n]*sin(alpha/2^n)=(sin(alpha))/2^n
v[n]=sin(alpha))/(2^n*sin(alpha/2^n))
En faisant tendre n vers l'infini (2^n*sin(alpha/2^n)) est équivalent à
alpha donc v[n] tend vers sin(alpha)/a
Voila !
DS
--
Une condition suffisante d'unicité locale est que la restriction à l'espace
vectoriel des champs cinématiquement admissibles avec 0 du Hessien de
l'énergie potentielle pour le déplacement solution considéré ne soit pas
dégénérée. (J.Kerbrat)
Posted by: Jérémie Rocher
> On peut se passer des sommes de Riemann....
> Multiplier l'expression
v[n]=cos(alpha)/2*cos(alpha/4)*...*cos(alpha/2^n)
> par sin(alpha/2^n) des deux côtés
> ...
> v[n]=sin(alpha))/(2^n*sin(alpha/2^n))
> En faisant tendre n vers l'infini (2^n*sin(alpha/2^n)) est équivalent
à
> alpha donc v[n] tend vers sin(alpha)/a
Joli !
> --
> Une condition suffisante d'unicité locale est que la restriction à
l'espace
> vectoriel des champs cinématiquement admissibles avec 0 du Hessien de
> l'énergie potentielle pour le déplacement solution considéré ne soit
pas
> dégénérée. (J.Kerbrat)