[B]problème de série[/B]

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Posted by: spid

bonjour à tous.
Pour être court mon problème commence dès l'énoncé :

Voici l'énoncé:
trouver la somme de terme général Un = nx^n, après avoir déterminé son intervalle de convergence.
On pourra écrire la série sous la forme :

x+x^2+x^3+x^4+...
x^2+x^3+x^4+...
x^3+x^4+..
x^4+...
...

ON redémontrera ce résultat en utilisant une équation différentielle dont S = somme de Un est solution sur son intervalle de convergence.

Mon problème c'est que je ne comprend pas ce que signifie son intervalle de convergence.

Merci pour votre aide.


Posted by: tize

L'intervalle de convergence est l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles \(\sum\limits_{n=0}^{N}nx^n\)_N converge


Posted by: spid

je veux bien te croire mais j'ai du mal à comprendre.
Ca veut dire qu'ici l'intervalle est x = 0.
(j'ai un peu de mal )

merci pour ton aide.

Ps: comment fait tu pour apparaitre le signe de sigma , j'ai pas trouvé).


Posted by: maturin

alors l'intervale de convergence c'est ]-1;1[
sinon pour le sigma faut faire du latex.

en gros tu mets les balises [ tex ] et [ / tex] et à l'intérieur tu écris du Latex (tu tapes tutorial latex sous google pour plus d'explication)


Posted by: spid

je fais un essai en latex :

\sum_{k=n+1}^{k=2n}1/\sqrt{k}

c'était ca ma série.


Posted by: boulay59

T'as vu quoi en cours ? La théorie des séries entières ? La théorie des séries ? ou rien de tout ça ?
(c'est pour ajuster le niveau de la réponse)


Posted by: spid

Je sais pas ce que tu entend vraiment par série entière mais en cours on fait les séries numériques


Posted by: boulay59

L'intervalle de convergence, c'est l'ensemble des x pour lesquels la série converge (c'est vrai je répète ce que tize a dit!!) (d'ailleurs on a pas encore démontré que c'était un intervalle !!)

Si t'as fait la théorie des séries numériques, tu dois connaître la règle de d'Alembert... pour trouver ]-1,1[

PS : pour info les séries entières sont les séries de la forme \sum u_n x^n


Posted by: spid

Merci pour ton aide je vais m'y replonger , je donnerais plus tard (voir demain) de mes nouvelles. Merci pour tout


Posted by: spid

encore un petit souci .
En faisant dAlembert on obtient : [(n+1)x] /n non? car on fait un+1 /un
et je vois pas comment d'ici tu peux trouver l'intervalle.
et oui pas doué


Posted by: tize

Citation:
Posté par boulay59
L'intervalle de convergence, c'est l'ensemble des x pour lesquels la série converge (c'est vrai je répète ce que tize a dit!!) (d'ailleurs on a pas encore démontré que c'était un intervalle !!)

Si t'as fait la théorie des séries numériques, tu dois connaître la règle de d'Alembert... pour trouver ]-1,1[

PS : pour info les séries entières sont les séries de la forme \sum u_n x^n

La serie proposée dans le permier post est justement de cette forme la... c'est une série entière et donc le domaine de convergence est de toute manière un intervalle...


Posted by: spid

je souhaite remettre mon dernier message car j'ai peur qu'il ne soit pas bien vue en fin de page :
encore un petit souci .
En faisant dAlembert on obtient : [(n+1)x] /n non? car on fait un+1 /un
et je vois pas comment d'ici tu peux trouver l'intervalle.
et oui pas doué


Posted by: boulay59

C'est la limite L de \frac{u_{n+1}}{u_n} qui compte.

Je te rappelle aussi que
- si |L|<1, alors ça converge
- si |L|>1, alors ça diverge
- si L=1 ou -1, alors on ne paut pas conclure (il te faut utiliser une autre méthode)


Posted by: boulay59

Et en réponse à Tize, s'il n'a pas fait les séries entières, il ne sait pas encore que c'est un intervalle, donc il n'a pas encore démontré que l'ensemble des x pour lesquels ça converge est un "intervalle de convergence"

Mais bon, c'est juste un détail


Posted by: tize

Citation:
Posté par boulay59
C'est la limite L de \frac{u_{n+1}}{u_n} qui compte.

Je te rappelle aussi que
- si |L|<1, alors ça converge
- si |L|>1, alors ça diverge
- si L=1 ou -1, alors on ne paut pas conclure (il te faut utiliser une autre méthode)

Bonsoir,
Il s'agit bien ici de série entière... et il n'est pas question de dire que si |L|>1 alors la série diverge, ce ne sont pas des séries numériques ! si \frac{u_{n+1}}{u_n}\to L cela veut simplement dire que le rayon de convergence de la série vaut 1/L


Posted by: boulay59

Si tu fixes la valeur de x, une série entière devient une série... numérique, ... Et sachant qu'il n'a pas vu les séries entières, on fait avec les moyens du bord, c'est à dire en revenant aux séries numériques (L dépend de x bien évidemment).

Enfin, maintenant, je dis ça, je dis rien ;)


Posted by: boulay59

Je crois que l'incompréhension vient du fait que j'ai appelé u_n (ou si tu veux u_n(x)) la suite (nx^n)_n et non la suite (n)_n


Posted by: spid

c'est encore moi et oui.
Après avoir réfléchi un certain moment, j'ai enfin compris pourquoi l'intervalle est ]-1,1[. Je me penche donc maintenant sur la suite.


Posted by: spid

j'ai du mal à comprendre encore un truc .
j'ai bien compris ce que tu l' énoncé .
x+x^2+x^3+x^4+..
x^2+x^3+x^4+..
x^3+x^4+..
x^4+..

je veux bien que ce soit pareil que : x+ 2x^2+3x^3+4x^4+... mais je ne comprend pas vraiment en quoi ca nous aide d'écrire ca comme ca. (Pourtant je pense bien sue ca doit être pour nous aidé).
Merci pour votre aide .


Posted by: tize

Bonsoir,

Dans
x+x^2+x^3+x^4+..
x^2+x^3+x^4+..
x^3+x^4+..
x^4+..
calcule chaque ligne (ce sont des séries géométriques que l'on peut calculer facilement)


Posted by: spid

J'aimerais savoir si on trouve:
S = N(1/(1-x)) j'ai fait comme tize m'a dit.
J'ai sommé les sommes des différentes lignes et je suis passé à la limite.
Merci d'avance.


Posted by: pedro_cristian

Citation:
Posté par spid
J'aimerais savoir si on trouve:
S = N(1/(1-x)) j'ai fait comme tize m'a dit.
J'ai sommé les sommes des différentes lignes et je suis passé à la limite.
Merci d'avance.

c'est quoi N?


Posted by: spid

J'ai calculé somme de Un de 1 à N et je suis passé à la limite.
J'ai donc fais:

où S(n=1 à N)Un est la somme de n=1 à N de Un,
et par exemple S(n=2 à N) x^n est la somme de n=2 à N de x^n.

S(n=1 à N)Un = S(n=1 à N) x^n+S(n=2 à N) x^n+...+S(n=N-1 à N) x^n + x^N

S(n=1 à N)Un = (1-x^N)/(1-x) + (1-x^(N-1))/(1-x) +....+ (1-x^2)/(1-x) + x^N

Et maintenant quand on passe à la limite j'ai trouvé N(1/1-x).










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