Problème ouvert

par **Anonyme** » 04 Nov 2007, 16:30

bonjour à tous, j'ai un problème ouvert en maths mais je bloque sur l'énoncé, le voici :
soit f une fonction dérivable sur ]0;1[ vérifiant les 2 conditions suivantes:
* limite de f(x) quand x tend vers 0 pour x>0 est = à limite de f(x) quand x tend vers 1 pour x<1 est = à 1/2
* pour tout réel x appartenant à ]0;1[, f '(x) < 1
Quel est le nombre de solutions de l'équation [f(x)]/x=1 dans ]0;1[

j'ai essayé de traduire l'énoncé par ceci mais je ne sais pas si cela est correct :
* pour cette première conditon nous pouvons en déduire que la Cf admet une asymptote horizontale d'équation y=1/2 et que cette courbe peut-être soit au dessus soit en dessous de celle-ci.
* pour cette seconde condition je ne comprend pas ce que l'on pourrait en déduire, cela pourrrait dire que la fonction n'est pa monotone sur l'intervalle mais d'abitude on compare f '(x) avec 0 et je ne vois pas ce que cela pourrait exprimé dans le cas ici présent. C'est en particulier pour cette condition que je vous demande des explications.

merci d'avance

par **rene38** » 04 Nov 2007, 18:01

Bonjour

* pour cette première conditon nous pouvons en déduire que la Cf admet une asymptote horizontale d'équation y=1/2 et que cette courbe peut-être soit au dessus soit en dessous de celle-ci.

Je ne crois pas.

Pour x dans ]0 ; 1[, [f(x)]/x=1 équivaut à f(x) = x soit f(x)-x = 0

Utilise les hypothèses pour étudier la fonction g définie sur ]0 ; 1[ par
g(x) = f(x) - x :
continuité, variations, limites aux bornes du domaine de définition

par **raito123** » 04 Nov 2007, 18:38

je ne croit pas que c la bonne solution il va falloir choisir une fonction
g(x)=[f(x)]-x
on a g(0).g(1)<0
d'aprés TVI ON A :
il y a au moins un c appartient a ]0;1[ tel que g'(c)=0

par **rene38** » 04 Nov 2007, 18:50

raito123 a écrit:je ne croit pas que c la bonne solution

Ça s'adresse à qui ?

il y a au moins un c appartient a ]0;1[ tel que g'(c)=0

g(c)=0, je suppose ; mais c'est insuffisant : on peut préciser (c'est ce qui est demandé) le nombre de solutions.

par **Anonyme** » 04 Nov 2007, 19:12

j'ai étudié la fonction g(x)= f(x) - x mais j'ai quelques problèmes :

*pour trouver la continuité de celle-ci il faut savoir si f(x) est continue or on ne le sait pas. Quand j'étudie la continuité a la borne 0 de g je n'arrive pas à trouver g(0) car g(0)= f(0)-0 or on ne sait pas ce que vaut f(0). Pareil quand on veut étudier la continuité en 1 cela nous fait g(1)=f(1) - 1 or on ne sait pas ce que vaut f(1).
*pour trouver la limite de g quand x tend vers 1 pour des valeurs inférieurs on obtient la limite de [f(x)-1] quand x tend vers 1 pour des valeurs inférieures mais je ne voit pas comment trouver ccette limites
*une fois qu'on a étudier cette fonction je ne voit pas comment relier cela pour trouver les différentes solution à [f(x)/x]=1

par **rene38** » 04 Nov 2007, 19:26

220622 a écrit:j'ai étudié la fonction g(x)= f(x) - x mais j'ai quelques problèmes :
*pour trouver la continuité de celle-ci il faut savoir si f(x) est continue or on ne le sait pas.

soit f une fonction dérivable sur ]0;1[

Dérivable entraîne continue, non ? Une somme de fonctions continues ...

Quand j'étudie la continuité a la borne 0 de g je n'arrive pas à trouver g(0) car g(0)= f(0)-0 or on ne sait pas ce que vaut f(0). Pareil quand on veut étudier la continuité en 1 cela nous fait g(1)=f(1) - 1 or on ne sait pas ce que vaut f(1).

Mais on sait que (prolongement par continuité)

* limite de f(x) quand x tend vers 0 pour x>0 est = à limite de f(x) quand x tend vers 1 pour x<1 est = à 1/2

par **Anonyme** » 04 Nov 2007, 19:47

merci en fait oui c'était tout bète mais je ne vois toujours pas ou cela nous mène, je ne voit pas ce que cela pourrait nous aider pour trouver le nombre de solution à l'équation

par **rene38** » 04 Nov 2007, 19:52

Qu'as-tu répondu à "continuité, variations, limites aux bornes du domaine de définition" de g telle que g(x)=f(x)-x ?

par **Anonyme** » 04 Nov 2007, 20:02

j'ai répondu que la fonction g est continue sur ]0;1[ , que la variation de g(x) est g '(x) = f '(x) - 1 or f '(x) <1 donc g '(x) < 0 et donc g(x) est strictement décroissante sur ]0;1[. Pour les limites :
* limite de g(x) quand x tend vers 0 avec des valeurs supérieures est égales à limites de f(x) = 1/2
* limite de g(x) quand x tend vers 1 pour des valeurs supérieures = limites de f(x) - 1= 1/2-1= -1/2

par **rene38** » 04 Nov 2007, 20:13

* limite de g(x) quand x tend vers 1 pour des valeurs supérieures ...

inférieures

Avec tout ça, tu peux mettre en action le corollaire du TVI (théorème de bijection) qui dit que ...

par **Anonyme** » 04 Nov 2007, 20:21

dsl mais je ne sais pas ce que c'est le théorème de bijection sa dis quoi ? je ne l'ai appris que pour les fonctions expodentielles c'est tout

par **rene38** » 04 Nov 2007, 20:48

Soit g une fonction continue et strictement monotone sur I=]0 ; 1[

alors g est une bijection de I sur g(I)=]-1/2 ; 1/2[

donc (puisque 0 est dans g(I))

il existe un unique x0 dans I tel que g(x0) = 0

par **Anonyme** » 04 Nov 2007, 20:58

ok merci mais sa me dis rien du tout. Donc si j'ai bien compris il existe une seul solution g(x0)=0 ?

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