Mathématiques - problème de notation : somme

problème de notation : somme
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Posted by: Nisrina

bonsoir,

on me demande de calculer sin(na) en fonction de sina et cosa

je trouve : $sin(na) = C_n^1 (cosa)^{n-1} sina - C_n^3 (cosa)^{n-3} (sina)^3 +....(+/- ??)$

mais je sais pas quoi mettre à la fin , ça dépend de la parité de n n'est-ce pas ?
j'aimerais aussi savoir comment exprimer cette somme avec sigma , ca m'aidera pour la suite de l'exo .

merci et bonne soirée !

Posted by: Clembou

Citation:

Posté par Nisrina

bonsoir,

on me demande de calculer sin(na) en fonction de sina et cosa

je trouve : $sin(na) = C_n^1 (cosa)^{n-1} sina - C_n^3 (cosa)^{n-3} (sina)^3 +....(+/- ??)$

mais je sais pas quoi mettre à la fin , ça dépend de la parité de n n'est-ce pas ?
j'aimerais aussi savoir comment exprimer cette somme avec sigma , ca m'aidera pour la suite de l'exo .

merci et bonne soirée !

Si tu ne sais pas quel est le signe que tu veux mettre et que ce signe dépend de la parité de $n$ alors tu peux mettre en fin d'expression

$\sin(na)=C_n^1 (\cos a)^{n-1}\sin a - C_n^3 (\cos a)^{n-3}(\sin a)^3+...+(-1)^nC_n^n (\cos a)^0(\sin a)^2$

Mais c'est pas sûr que la formule que tu me donnes marche... :no:

Posted by: Nisrina

je ne crois pas que ça marche comme ça !

celà dépend si n= 4k+3 ou n=4k+1 puisque $i^{4k+3}=-i$ et $i^{4k+1}=i$

Posted by: fahr451

bonjour

sin na = sigma k = 0,...E[(n-1)/2] de

(-1)^k sin^(2k+1) a cos ^(n-2k-1) a

où E désigne la partie entière

Posted by: Nisrina

bonjour

merci mais j'ai encore besoin de vos lumières

- y manque pas une combinaison qq part ?
- pouvez-vous m'expliquer pourquoi la partie entière de (n-1)/2 ?

merci
G'day

Posted by: fahr451

ah ben oui manque (2K+1 parmi n )

sinn a = Im ( cos a + i sin a )^n que l 'on développe avec la formule du binôme

sigma p = 0 ,...,n (i)^p u(p) (je n'explicite pas u(p)

pour avoir la partie imaginaire on prend les p impairs donc de la forme

p = 2k+1 la valeur minimale de k est 0 et on doit avoir

p=<n donc 2k+1=<n soit k=< (n-1)/2 et comme k est entier au maximum k = E[(k+1)/2]

Posted by: Nisrina

trés bien détaillé

j'ai bien compris , je n'aurais plus ce souci grâce à vous

merci bien !
G'day

Posted by: Nisrina

salut fahr541 ,

j'ai encore besoin de ton aide pour la suite de cet exo si possible .

on pose : $P(x)= \sum_{k=0}^{k=p} (-1)^k C_{2p+1}^{2k+1} x^{p-k}$

1) je dois montrer que : $P(x_k)=0$ tel que $x_k = cot^2(\frac{k\pi}{2p+1})$ puis en déduire une factorisation à P(x) .
2) montrer que : $\sum_{k=1}^{k=p} x_k = \frac{1}{6} (2p)(2p-1)$

si vous permettez , je veux juste des pistes pour arriver au résultat seule , je suis en pleine préparation pour mon bac et ça me stress d'être bloquée à chaque moment

merci encore !

Posted by: Nisrina

bonsoir,

enfin connecté fahr541 , peux-tu regarder stp ?

Posted by: fahr451

bonsoir

c'est la suite ?

j'ai un doute car on s'attend à voir apparaitre le polynôme (tchebychev deuxième espèce) de la première question pour n = 2p+1 mais il manquerait des (1-x^2) ^ ..

c'est bien ce polynôme là P ?

Posted by: Nisrina

oui c'est la suite ..
la question qui précède celle là était juste de vérifier que :
$sin(na)= sin^n(a) (\sum_{k=0}^{[\frac{(n-1)}{2}]} (-1)^k C_{2k+1}^{n} cotan^{n-2k-1}$
c facile avec ce qui a été montré précédemment .

sinon on a pas mentionné ce polynome de tchybechev et il n'y a pas de $(1-x^2)^$

L'énoncé est faux ?

Posted by: fahr451

oui en effet suffit de transformer ( ça serait bien d'avoir les questions intermédiaires de façon intermédiaire plutôt que d'avoir à les deviner...)

donc pour n = 2p+1

sin (2p+1)a /sin^(2p+1)a = P (cotan^2) pour sin a non nul

et en évaluant en a = xk = kpi/(2p+1) k = 1 ,...,p on trouve bien 0

d'où P de degré p a p racines distinctes donc on les a toutes sont toutes simples , reste à trouver le coeff dominant de P pour le factoriser

Posted by: Nisrina

ah ben merci bien

donc on peut écire comme factorisation : $P(x) = \prod_{k=1}^{p} (x- cot^2(\frac{k\pi}{2p+1}))$

c bon ?

Posted by: fahr451

il manque C = le coefficient dominant devant le produit

C = le coefficient de x^p obtenu pour k = 0

Posted by: yos

Bonsoir.
J'ai pas envie de tout regarder, mais il me semble que tu as une racine en trop par rapport au degré du polynôme.

Posted by: Nisrina

je suis perdue là ...

pourquoi ce coefficient dominant ? peux-tu détailler stp ?

Posted by: fahr451

ah ben oui j'avais pourtant écrit k = 1,...,p (car sina doit être non nul )

Posted by: Nisrina

OK , je vais réctifier , sinon...

Posted by: fahr451

ben

P = 2X^2 - 18 a pour racines 3 et -3 sa factorisation est 2(X-3)(X+3) et non (X-3)(X+3)

Posted by: Nisrina

ok donc coefficient dominant c'est le coefficient du facteur du plus haut degré dans mon expresion soit $C_{2p+1}^1=(2p+1)$

c ça ?

Posted by: Nisrina

ben en admettant celà , je te souhaite une bonne nuit

merci bieen !

Posted by: fahr451

oui c'est ça et enfin on demande de calculer la somme S des racines xk
Or

P = C(X-x1)...(X-xp) en développant formellement le terme en X^(p-1) est obtenu en prenant p-1 fois X et une fois un xk donc le coefficient de X^(p-1) est -C S
(si tu as du mal développe complètement avec p= 3 ou 4)
donc S = - coefficient de X^(p-1) / coefficient de X^p

REM : cet exercice est un très joli exercice qui me semble à des années lumières de ce qu 'on exige au bac désormais.

dans quel lycée es-tu ?

Posted by: Nisrina

G'day ,

ah bah quoi dire merci

c'est toujours formidable de trouver des gens toujours présents pour aider et partager

pour cette question j'ai essayé justement de develloper avec p=3 pour voir ce qui se passe , mais j'ai pas pu généraliser , c'est donc le cas général , pour un poly. de deg p : S(racines)=-coeff(X^p-1)/coeff. dominant ? je suis curieuse de savoir la formule du produit des racines si elle existe ?
enfin je trouve bien le résultat demandé , merci encore .

je suis au lycée Descartes Rabat . C'est vrai que cet exo est chaud (enfin pour moi) mais effectivement c trés joli , il y a plein de chose à découvrir . il était posé dans un ds au lycée moulay youssef si vous connaisez , et puisque j'ai des amis là bas on s'échange les ds et dm.. .

Posted by: fahr451

en notant H le produit des racines
en développant

P= c(X-x1)...(X-xp) le terme constant est obtenu en ne prenant jamais X
mais que des xk
il vaut donc (-1)^p C H

donc produit des racines = (-1)^p terme constant / coefficient de X^P

Posted by: sue

Bonjour à tous ,

ça me dit effectivement qq chose cet exo

ps : Nisrina regarde tes mp .

Posted by: fahr451

tout rabat fait les mêmes exos peut être :)

ceci dit il y en a plein des comme
ça

c'est toujours factorisation d'un certain polynôme à coup de racines n ièmes de l 'unité et calcul de somme ou produit des racines

Posted by: sue

ou encore par ce que je l'avais passé ce ds ! comme le monde est petit

si mes souvenirs sont bons cet exo ne s'arrête pas là , son but était de trouver la limite d'une suite (la flemme de chercher l'épreuve) , qu'on pourrait déterminer facilement avec Reiman , mais bon c'était au 1er sem on n'avait pas encore vu les intégrales !

Posted by: Nisrina

Bpnjour,

Citation:

en notant H le produit des racines
en développant

P= c(X-x1)...(X-xp) le terme constant est obtenu en ne prenant jamais X
mais que des xk
il vaut donc (-1)^p C H

donc produit des racines = (-1)^p terme constant / coefficient de X^P

oK, merci encore Fahr541

sinon effectivement sue !
(ravie

)

G'day