Problème de Mathématiques financières (Urgent svp)

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Posted by: X_nankin_X

Bonjour à tous, J'ai de la difficulté a résoudre un problème de mathématique pour mon cours de finance et j'aurais besoin de votre aide s.v.p.

Voici le problème:

Un capital P, placé au taux effectif annuel ''i'' pendant 10 ans, devient 3873,07$. Ce même capital, placé à un taux supérieur de 1% pendant le même temps, est devenu 4224,93$. Déterminez le taux et le capital ?

Voici mon résonnement jusqu'à maintenant. (Bien qu'il soit possible que je me trompe)

Afin de déterminer le capital de base, la formule est la suivante.

P= Capital de départ
Sn= Valeur acquise
i= Intérêts par période
n= nombre de périodes

Formule: P= Sn (1+i) exposant -n

Je traduis donc l'énoncé comme cela:
1ere situation: P=3873,07(1+i) exposant -10
2eme situation:p=4224,93(1+i+.01) exposant -10

Donc

3873.07 (1+i) exposant -10 = 4224.93 (1+i+.01) exposant -10


Mon problème commence ici car je ne suis pas capable d'isoler la variable i

Merci d'avance tout le monde

P.S:Les réponses devraient être les suivantes

Capital: 1000$
I: 12.5%


Posted by: Chimerade

Citation:
Posté par X_nankin_X
Bonjour à tous, J'ai de la difficulté a résoudre un problème de mathématique pour mon cours de finance et j'aurais besoin de votre aide s.v.p.

Voici le problème:

Un capital P, placé au taux effectif annuel ''i'' pendant 10 ans, devient 3873,07$. Ce même capital, placé à un taux supérieur de 1% pendant le même temps, est devenu 4224,93$. Déterminez le taux et le capital ?

Voici mon résonnement jusqu'à maintenant. (Bien qu'il soit possible que je me trompe)

Afin de déterminer le capital de base, la formule est la suivante.

P= Capital de départ
Sn= Valeur acquise
i= Intérêts par période
n= nombre de périodes

Formule: P= Sn (1+i) exposant -n

Je traduis donc l'énoncé comme cela:
1ere situation: P=3873,07(1+i) exposant -10
2eme situation:p=4224,93(1+i+.01) exposant -10

Donc

3873.07 (1+i) exposant -10 = 4224.93 (1+i+.01) exposant -10


Mon problème commence ici car je ne suis pas capable d'isoler la variable i

Merci d'avance tout le monde

P.S:Les réponses devraient être les suivantes

Capital: 1000$
I: 12.5%


Je pose K=3873.07, L=4224.93 e=0.01
Ton équation s'écrit donc :
\Large K(1+i)^{-10}=L(1+i+e)^{-10}

Je prends le logarithme des deux membres :

\Large Ln(K)-10\times Ln(1+i) = Ln(L)-10\times Ln(1+i+e)
D'où :

\Large Ln(L)-Ln(K) = 10\times (Ln(1+i+e)-Ln(1+i)
\Large Ln(L)-Ln(K) = 10\times Ln(\frac{1+i+e}{1+i})
\Large \frac{\Large Ln(L)-Ln(K)}{10} = Ln(\frac{1+i+e}{1+i})
et finalement en prenant l'exponentielle des deux membres :

\Large e^{\frac{\Large Ln(L)-Ln(K)}{10}} = \frac{1+i+e}{1+i}

Posons \Large \alpha = e^{\frac{\Large Ln(L)-Ln(K)}{10}} , quantité connue.

\Large \frac{1+i+e}{1+i} = \alpha

\Large 1+i+e = \alpha\times(1+i)
\Large i\times(1-\alpha) = \alpha-1-e
Et finalement :
\Large i= \frac{\alpha-1-e}{1-\alpha}

De là, on calcule aisément le capital P. La vérification est simple : il suffit de vérifier que :
\Large K(1+i)^{-10} est bien égal à \Large L(1+i+e)^{-10}


Posted by: X_nankin_X

Merci beaucoup pour la démarche.

Très sympa de ta part


Posted by: Chimerade

Citation:
Posté par X_nankin_X
Merci beaucoup pour la démarche.

Très sympa de ta part


Il y a aussi Nicolas_75 à remercier, qui te donne une autre approche :
http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=5733

Il est inutile de poster en plusieurs endroits le même message ! En outre c'est particulièrement nuisible au bon fonctionnement du forum. Merci de le noter désormais !










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