Mathématiques - Problème mathématique

Problème mathématique
(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)

Posted by: poche

Bonjour,

Voici mon problème :

http://nsa01.casimages.com/img/2008...41232322231.jpg

Téta varie de 0 à (jusqu'à ce que X3 = 0). Je voudrais savoir la valeur de téta quand X2 + X3 est maximal.

X1 et X4 sont des longueurs fixes.
Merci d'avance.

Posted by: fatal_error

Bonjour,
$ X3=X4cos(\alpha) - X1 \\ X2=29.5+X4sin(\alpha) \\ => X2+X3=X4(cos(\alpha) +sin(\alpha))-X1+29.5 \\ (X2+X3)'=0 <=> cos(\alpha)=sin(\alpha) \\ =>\alpha = \frac{\pi}{4} \\ cos(\alpha)-sin(\alpha) > 0 \text{pour alpha appartient a} [0;\frac{\pi}{4}] \\$
Le max est donc en $\alpha=\frac{\pi}{4}$

Posted by: poche

J'ai bien trouvé cette ligne
=> X2+X3=X4(cos(\alpha) +sin(\alpha))-X1+29.5 \\

mais comment passes tu à la ligne suivante!!
(X2+X3)'=0 <=> cos(\alpha)=sin(\alpha) \\

Posted by: Syracuse

Citation:

Posté par poche

J'ai bien trouvé cette ligne
=> X2+X3=X4(cos(\alpha) +sin(\alpha))-X1+29.5 \\

mais comment passes tu à la ligne suivante!!
(X2+X3)'=0 <=> cos(\alpha)=sin(\alpha) \\

x2 + x3 est une constante donc sa dérivée est nulle.

En fait c'est plutôt une implication qu'une équivalence.

Posted by: poche

ok, merci beaucoup

Posted by: mathelot

- le schéma a disparu

- le problème posé était difficile

- les réponses qui ont été données ne correspondent pas à l'énoncé.

Posted by: mathelot

Bonjour,

le problème géométrique que tu as posé , n'était pas facile (avec X1,X2,X3,X4
et l'espèce de bras articulé) . J'avais conclu qu'l fallait trouver une expression simple
de $\frac{X2}{X3}$ en fonction de $\theta$ .
J'étais passé par les dérivées logarithmiques pour simplifier les expressions
comportant des racines carrées.
Peux-tu remettre le schéma en ligne que l'on continue d'y réfléchir ?

Cordialement,

Posted by: poche

Bonjour,
Voilà, je viens de remettre l'image.
Merci encore

Posted by: mathelot

bonjour,

merçi de préciser le point suivant:

Comment sont définies X2 et X3:

1) longueurs des côtés de l'angle droit du triangle rectangle

ou au contraire

2) X3 le côté horizontal de l'angle droit et X2 la longueur de l'hypotènuse

?

Posted by: poche

Citation:

Posté par mathelot

bonjour,

merçi de préciser le point suivant:

Comment sont définies X2 et X3:

1) longueurs des côtés de l'angle droit du triangle rectangle

ou au contraire

2) X3 le côté horizontal de l'angle droit et X2 la longueur de l'hypotènuse

?

X3 : coté de l'angle droit
X2 : Hypoténuse

Posted by: fatal_error

re,

Citation:

x2 + x3 est une constante donc sa dérivée est nulle.

En fait c'est plutôt une implication qu'une équivalence.

En fait, X2+X3 est ma fonction dépendant de teta.
J'ai posé $(X2+X3)'=X4(cos(\alpha)-sin(\alpha))$ X1 et 29,5 étant constant

J'en déduis un alpha pour X2+X3 max.

Citation:

- les réponses qui ont été données ne correspondent pas à l'énoncé.

Je ne vois pas en quoi je reponds pas à l'énoncé, j'aimerais bien savoir ou serait mon erreur oO.

Posted by: mathelot

Citation:

Posté par fatal_error

Je ne vois pas en quoi je reponds pas à l'énoncé, j'aimerais bien savoir ou serait mon erreur oO.

Le calcul de X2 est faux. X2 est l'hypoténuse et non un côté de l'angle droit.

Et aussi , le raisonnement est faux, c'est plus ennuyeux.

PARCE QU'UN EXTREMUM ANNULE UNE DERIVEE SI C'EST UN POINT INTERIEUR AU DOMAINE. X2+X3 peut être une fonction monotone de $\theta$ , et la dérivée peut ne pas s'annuler au maximum.

Posted by: mathelot

Bjr,
on nomme les sommets du rectangle à partir du coin haut-gauche, en tournant dans le sens trigonométrique direct A,B,C,D.
Le bras s'articule au point O , l''extremité supérieure gauche de X4 est notée E, le segment X3 est noté EF.
On note $\delta=AB=29,5$
$\alpha_{1}=\hat{AOB}$
$\alpha_{2}=\hat{ABO}$
$\theta_{1}=\hat{EBF}$
$x=\hat{BEO}$

il vient , dans un repère orthonormé:

$\displaystyle X_2^2 =\left( {(X_{1}-X_{4} \cos(\theta) )}^2+ {(\delta+X_{4} \sin(\theta))}^2 \right)$

$\displaystyle X_{3}=X_{4} \cos(\theta) - X_{1}$

La relation $X_{2}'+X_{3}'=0$ donne:

$\displaystyle X_{2}'=\frac{X_{4} (\sin(\theta)X_{1}+\delta \cos(\theta))}{\sqrt{ {(X_{1}-X_{4} \cos(\theta))}^2+{(\delta+X_{4} \sin(\theta))}^2}}= - X_{4} \cos(\theta)$

En élevant au carré pour chasser la racine:

$\displaystyle \frac{\sin^2(\theta) X_{1}^2 + \delta^2 \cos^2(\theta)+2 \delta X_{1} \sin(\theta) \cos(\theta)}{X_{1}^2+X_{4}^2+\delta^2 +2 X_{4} \left( \delta \sin( \theta) - X_{1} \cos(\theta) \right)}= \cos^2(\theta)$

On pose $t= \tan(\frac{\theta}{2})$
$\displaystyle \sin(\theta)=\frac{2t}{1+t^2}$
$\displaystyle \cos(\theta)=\frac{1-t^2}{1+t^2}$
et l'on obtient une équation d'inconnue t de degré 4, à résoudre par une méthode numérique.

Il faut regarder si l'extremum est atteint pour les valeurs frontières $\theta=0$ ou $\theta= \arccos(\frac{X_{4}}{X_{1}})$
pour certains valeurs des paramètres $X_{1},X_{4},\delta$ ...

Posted by: poche

Bonjour,

Merci de votre réponse mais je ne comprends pas tout, est-ce possible d'avoir plus de détail de calcul SVP?

Posted by: mathelot

Citation:

Posté par poche

Bonjour,

Merci de votre réponse mais je ne comprends pas tout, est-ce possible d'avoir plus de détail de calcul SVP?

pose des questions, y a rien de sorcier.

Il vient d'où ce problème ? mécaniquement le bras ne semble pas bien placé.

Posted by: poche

Citation:

Posté par mathelot

$\displaystyle X_{3}=X_{4} \cos(\theta) - X_{1}$

La relation $X_{2}'+X_{3}'=0$ donne:

D'ou vient cela??

Citation:

Posté par mathelot

$\displaystyle X_{2}'=\frac{X_{4} (\sin(\theta)X_{1}+\delta \cos(\theta))}{\sqrt{ {(X_{1}-X_{4} \cos(\theta))}^2+{(\delta+X_{4} \sin(\theta))}^2}}= - X_{4} \cos(\theta)$

je comprend pas comment trouvé ce résultat:

Citation:

Posté par mathelot

On pose $t= \tan(\frac{\theta}{2})$
$\displaystyle \sin(\theta)=\frac{2t}{1+t^2}$
$\displaystyle \cos(\theta)=\frac{1-t^2}{1+t^2}$
et l'on obtient une équation d'inconnue t de degré 4, à résoudre par une méthode numérique.

Je ne vois pas pourquoi on utilise ceci??
Et c'est quoi l'équation de degré 4?

Posted by: mathelot

Il me semble que je t'ai posé une question..

Posted by: poche

Il est bien placé, c'est un bras articulé qui sera sur un robot. Et je doit respecter le règlement au niveau du périmètre du robot. Voilà...
Attens, je met le problème complet...

Posted by: mathelot

Toutes les mesures de longueur sont fonction de $\theta$ .

On utilise le théorème suivant;

1°
Si une fonction f derivable sur [a;b] admet un maximum dans l'intervalle ouvert ]a;b[ en c, alors f '(c)=0.

on exprime que la dérivée de la fonction
$\theta \rightarrow X3(\theta)+X2(\theta)$ s'annule
pour une valeur de $\theta$ .

2)
Les projections du "bras" X4 sur les directions horizontales et verticales
sont:

$x=X4 \cos(\pi - \theta)= - X4 \cos(\theta)$
$y=X4 \sin(\pi - \theta)= X4 \sin(\theta)$

3)
Il faut prendre un repère orthonormé en une origine quelconque
et calculer les coordonnées des vecteurs par
$\vec{AB} = (x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A})$

4) les dernieres formules de trigo sont introduites pour avoir une seule inconnue à partir des quantités inconnues:
$\sin(\theta),\cos(\theta),\cos^2(\theta), \sin^2 (\theta) \sin(2 \theta)$ etc..

malheureusement, on obtient un polynôme de degré 4.

Posted by: poche

[IMG]http://nsa01.casimages.com/img/2008...50382370571.jpg[/IMG]

Ce que j'ai mis en rouge est le diamètre du robot. Je doit trouver quand est ce que le périmètre est maximal car son périmètre doit être de 140 maximal. Donc je doit trouver le meilleur compromis entre les différentes longueurs.
Voilà...

Posted by: mathelot

Pourquoi ne pas s'inspirer des proportions des organismes naturels ?
(corps humain, singe, fourmillier, girafe, équidés, taupes,crabes, etc..)
selon la tache à accomplir.
Les tests sont déja faits depuis des millions d'années...

exemple: ptérodactyle=oiseau trop grand = disparu
dinosaure=reptile trop gros=disparu
dodo=oiseau ne volant pas=disparu

airbusA380 ???

Posted by: poche

La je comprend pas du tout ce que tu me dis, désolé...
Pourrais tu être plus clair STP et répondre à ma question

Posted by: mathelot

Citation:

Posté par poche

La je comprend pas du tout ce que tu me dis, désolé...

Si tu cherches un robot qui sache jouer du violon en faisant du ski, c'est le corps humain.Merveille de robotique.

forme robotique

périmètre non optimisé

Bon, revenons à nos moutons. On ne cherche pas à minimiser l'encombrement, c'est ça ?

Qu'est ce qui est imposé ?
X4: la longueur du bras ?
Il semble qu'il y ait le choix pour X1 ?
Le socle est nécéssairement un carré de 29,5 ?
Le périmètre doit être maximal ??????????

Posted by: poche

Je doit trouver le meilleur compromis entre X1 et X4 pour que le périmètre doit être toujours < 140 (d'ou la nécéssité de trouver l'angle lorsque X2 + X3 est max)
Et j'ai une deuxième contrainte : lorsque téta = Pi, les deux bras se supperpose, et doivent se toucher sur 3 cm

[IMG]http://nsa01.casimages.com/img/2008...40442371001.jpg[/IMG]

Posted by: mathelot

je dois y aller là.

il semble que la Nature donne sur différents animaux la même
proportion entre le bras et le socle.

compact

Posted by: poche

Tu 'es trop marrant toi, tu as mangé un clown??????