Mathématiques - probleme de limite

probleme de limite
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Posted by: momo

Quelle est la limite de $f(x)=\frac{1}{2}\left(-x+\left(\frac{x^2}{2\pi}\right)\right)cotan \left( \frac{x}{2} \right)$ quand x tend vers 0.f etant de fini sur 0,pi.
merci

Posted by: Chimerade

C'est -1 il me semble

Posted by: momo

en ecivant la fonction,tu as fais une erreur le 2pi est au denominateur.

Posted by: leibniz

Ok c'est reglé, mais M. Chimerade a répondu avant la modification.

A+

Posted by: momo

OK
pourquoi c'est-1?

Posted by: abcd22

On fait un développement généralisé de cotan en 0 : $x\cot x = \frac{\cos x}{\left(\frac{\sin x}{x} \right)}$ tend vers 1 en 0, on peut en faire un développement limité, et on en déduit que $\cot x = \frac{1}{x} + o(1)$ au voisimage de 0, d'où la limite.

Posted by: momo

Tu peux me faire svp le detail du devellopement limite car j'arrive pas a comprendre.

Posted by: momo

la limite etant -1 ou 0.

Posted by: abcd22

En fait ici on a juste besoin de la limite de x cotan x en 0, donc c'est pas vraiment la peine de faire un développement généralisé (avec un quotient, puis un produit...) Par définition de la limite, au voisinage de 0, $x \cot x = 1 +o(1)$ , donc $\cot x = \frac{1}{x} + o(\frac{1}{x})$ (le résultat est moins précis que celui que j'ai donné dans mon post précédent mais il suffit). On remplace dans l'expression de f :
$f(x) = \frac{1}{2}\left( -x +\frac{x^2}{2\pi} \right)\left( \frac{2}{x} + o(\frac{1}{x}) \right) = \frac{1}{2}\left( -1 +\frac{x}{2\pi} \right)\left( 2 + o(1) \right) = -1 + o(1)$ (le x/2Pi rentre dans le o(1)), donc la limite en 0 est -1.