Mathématiques - Problème sur les suites

Problème sur les suites
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Posted by: basket

Bonjour

je cale sur cette question:

Soit Un définie par u0 >0 , u1 > 0 et quelque soit n appartenant à N
Un+2 = racine carré Un + Un+1

Montrer que pour tout n appartenant à N , Un > 0

Merci

Posted by: gol_di_grosso

montre que u0 et u1 sont >0 après tu fait une récurrence forte (tu suppose que c'est vrai pour les inférieurs à n et tu montre que c'est alors vrai pour n

Posted by: thedream01

par récurrence...

Posted by: basket

Citation:

Posté par gol_di_grosso

montre que u0 et u1 sont >0 après tu fait une récurrence forte (tu suppose que c'est vrai pour les inférieurs à n et tu montre que c'est alors vrai pour n

on sait que u0 et u1 sont >0, c'est dans l'énoncé , mais je ne vois pas pour la récurrence

Posted by: gol_di_grosso

on suppose que c'est vrai pour tout n inférieur à n+2
tu supposes que $u_{n+2} ~~ u_{n+1}$ sont positif
$\sqrt{U_{n}+u_{n+1}}$ est positif
donc c'est vrai pour n+2
ainsi...

Posted by: thedream01

Comme l'a déja dit gol_de_grosso, tu fais une récurrence!
Tu supposes que quelque soit k de 0 à n-1, u(k)>0.
Donc u(n-1)+u(n-2) est positif par hypothése..donc u(n)= (u(n-1)+u(n-2))^(1/2) existe et est >0..

Posted by: gol_di_grosso

arf on se talone

Posted by: thedream01

hahahahah... Je vois ça!

Posted by: basket

Citation:

Posté par thedream01

Comme l'a déja dit gol_de_grosso, tu fais une récurrence!
Tu supposes que quelque soit k de 0 à n-1, u(k)>0.
Donc u(n-1)+u(n-2) est positif par hypothése..donc u(n)= (u(n-1)+u(n-2))^(1/2) existe et est >0..

merci de répondre si vite, mais j'ai du mal à comprendre, il faut dire que les suites c'est un de mes points faibles

Posted by: gol_di_grosso

c'est quoi que tu comprends pas parce que là ça me semble clair
un truc précis ?

Posted by: basket

Citation:

Posté par gol_di_grosso

c'est quoi que tu comprends pas parce que là ça me semble clair
un truc précis ?

tes deux suppositions et ta déduction

Posted by: thedream01

C'est ça le principe de la récurrence!

Posted by: basket

Citation:

Posté par thedream01

C'est ça le principe de la récurrence!

pourrais tu détailler car je ne comprends vraiment pas

merci

Posted by: basket

Bonjour

je suis toujours bloqué, merci de penser à moi

Posted by: SimonB

Le principe de la récurrence :

tu as à montrer une propriété $P_{n}$ pour tout entier n (par exemple : $\forall n\in\mathbb{N}, u_{n}>0$ , ou bien $\forall n\in\mathbb{N}, \sum_{k=0}^{n}{k}=\frac{n(n+1)}{2}$ ).

1)Tu montres que $P_{0}$ est vraie.

2)Tu supposes que pour $n\in\mathbb{N}$ fixé quelconque, si $P_{n}$ est vraie, alors $P_{n+1}$ est vraie.

Ta propriété est alors montrée : si tu prends n=0, tu en déduis que $P_{1}$ est vraie, puis avec n=1, que $P_{2}$ est vraie, et ainsi de suite pour tout n.

Le point important à comprendre dans le raisonnement est que n est fixé quelconque dans $\mathbb{N}$ ...

La variante du raisonnement par récurrence faite ici est à l'étape 2) : ici, tu dois prendre plutôt :
2bis) Tu suppose que pour n fixé quelconque $\in\mathbb{N}$ , on a : $\forall k\in\mathbb{N}, P_{k}$ est vraie.
Ca ne change rien théoriquement, mais pratiquement c'est plus pratique dans plusieurs cas (dans le tien en particulier). C'est ce qu'on appelle une récurrence forte.

Posted by: basket

je comprends bien la définition mais je n'arrive pas à l'appliquer au problème

Posted by: SimonB

Si tu ne précises pas plus, je ne peux rien pour toi.

Posted by: gol_di_grosso

tu montre les deux cas de base ici ils sont données donc c'es bon
après tu suppose que c'est vrai pour tout k<n+2 c'est à dire que pour tout k<n+2 $u_{k} >0$ et tu montre que c'est alors vrai pour n+2
$u_{n+2}= \sqrt{u_n+u_{n+1}}$
or d'après l'hypothèse de récurence $u_n$ et $u_{n+1}$ sont positifs donc
$u_n+u_{n+1}>0$
et $u_{n+2}= \sqrt{u_n+u_{n+1}}>0$
donc $u_{n+2}>0$
ainsi c'est bon...
prend comme exemple n=3 si tu comprend pas puis n=4

Posted by: SimonB

Je tiens à dire que je ne réponds pas aux messages privés qu'on m'envoie sur ce genre de sujet.

Pour en revenir au problème...

Citation:

Posté par basket

Tu supposes que quelque soit k de 0 à n-1, u(k)>0.
Donc u(n-1)+u(n-2) est positif par hypothése..donc
u(n)= (u(n-1)+u(n-2))^(1/2) existe et est >0..

je ne vois pas
pourquoi u(n-1)+u(n-2) est positif

D'après l'hypothèse de récurrence, $u_{n-1}$ et $u_{n-2}$ sont positifs. Une somme de nombres positifs est positive...

Citation:

et pourquoi u(n)= (u(n-1)+u(n-2))^(1/2) existe et est >0..

Parce que la racine carrée d'un nombre positif existe bien, et est positive...

Il serait bon de revoir des connaissances de calcul de base (niveau seconde environ) !!

Posted by: basket

Merci à tous j'ai compris