Mathématiques - Problème sur les intégrales

Problème sur les intégrales
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Posted by: jujube

Bonjour, j'ai quelques exos sur les integrales, si quelqu'un pourrai m'aider.

exo 1 :
Soit f appartenant à C°(I), où I est un intervalle de R.
Montrer que si abs(intégrale(f))=integrale(abs(f)), alors f est de signe constant.

exo 2 :
Soit {f:[0,1]-->R(+,*), continue}=E.
Pour f appartenant àE, on définit §(f)=((intégrale de 0 à 1)(f))*((integrale de 0 à 1)(1/f)). Calculer min §(f) et Arg min §(f).

exo 3 :
Soit (fn) une suite de fonctions continues d [a,b] dans R, telle que limite quand n tend vers +inf de (intégrale de a à b) ((fn)²)=0. Montrer que limite que n tend vers +inf de (intégrale de a à b)(abs(fn))=0.
Réciproque?

exo 4 :
Soient (a,b)appartenant à R² et E={f apprt à classe C([0,1],R);f(0)=a, f(1)=b}. Montrer que {intégrale de 0 à 1 de (f ')²;f appart à E} admet un minimum. Le calculer et calculer les fonctions que le réalisent.

Posted by: ThSQ

1) quitte à changer f et -f on peut se ramener à $| \int_0^1 f | = \int_0^1 f$

Mézalor $\int_0^1 |f| - f = 0$ et $|f| - f \geq 0$ donc $|f|=f$ (fonction C° positive d' $\int$ nulle

2) min = 1

D'après Cauchy-Schwarz $\sum a_i * \sum 1/a_i \geq n^2$ donc en prenant des sommes de Riemann c'est direct que le truc est $\geq 1$

3) Cauchy-Schwarz direct