Le problème de l'hypoténuse

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Posted by: moutonjr

http://www.hebergement-images.com/m...198_PbCarre.JPG
Bonjour à tous!
Voilà ce problème célèbre depuis l'antiquité!
Soit un carré(bon vite fait par paint) de côté 1. On souhaite approximer son hypoténuse.
On rappelle selon Pythagore (comme quoi, les grecs...) que l'hypoténuse vaut
√(1+1) = √2 (ouuu )

Pour approximer on effectue la méthode indiquée par escaliers :
on prend la somme de tous les segments qui consittuent l'escalier et on s'approche de l'hypoténuse.
Si n est le nombre de subdivisions et Un la suite qui approxime l'hypoténuse :
U(1) [Noir] = 1+1 = 2*1 = 2
U(4) [Bleu] = 16*0.125 = ...2.
Un est le produit du nombre de marches par la taille de ces marches.
U(n) = (2^n) * (1/(2^(n-1))

Ou encore plus simplement :Un (2^n)/(2^(n-1))
Un = 2^(n-n+1) = 2...

La limite quand n tend vers +∞, donc quand l'escalier est infiniment près de l'hypoténuse, Un est donc de 2 ≠ √2 !!! Pouquoi donc??


Posted by: emdro

Citation:
Posté par moutonjr
l'escalier est infiniment près de l'hypoténuse


Bonjour,

Comme quoi la notion d'"infiniment près" pour deux courbes au sens où tu l'entends, ne signifie pas qu'elles ont la même longueur!

Tu peux t'amuser également à construire sur un segment de longueur D:
* un demi cercle de diamètre D,
*deux demi-cercles de diamètre D/2
*quatre demi-cercles de diamètre D/4.

A chaque fois, la longueur totale est pi*D/2, et on ne s'approche pas de D.

NB: Il y a beaucoup d'autres propriétés en maths qui ne sont pas conservées par passage à la limite, comme la commutativité de la somme par exemple.


Posted by: moutonjr

Oui mais c'est tout de même totalement absurde, c'est géométriquement impossible!! à la limite qauand n -> +∞ alors le cercle (et l'escalier) sont confondus avec la droite!


Posted by: emdro

Eh non!

Que veut dire
Citation:
Posté par moutonjr
à la limite qauand n -> +∞ alors le cercle (et l'escalier) sont confondus avec la droite!
?

Pour tout n, aussi grand soit-il, l'escalier En sera différent de ta diagonale.
Que signifie la limite de l'escalier En ? Si cela t'arrange de convenir que lim En=D (la diagonale) car c'est cohérent avec ton intuition géométrique (ne pas trop s'éloigner de D), tu as démontré que longueur(lim En) n'est pas égale à lim[longueur(En)].

Pour ton intuition, pense à tous les petits crochets qu'il faut faire pour suivre En. Plus n est grand, plus ces crochets sont petits, mais plus ils sont nombreux!


Posted by: scelerat

Citation:
Posté par moutonjr
Oui mais c'est tout de même totalement absurde, c'est géométriquement impossible!! à la limite quand n -> +∞ alors le cercle (et l'escalier) sont confondus avec la droite!

Il faut ecrire en toutes lettres "Quand n tend vers l'infini" et "le cercle et l'escalier se rapprochent de la droite". On ne peut comparer "tendre" et "etre confondu". Quel que soit n, il suffit de grossir suffisamment une portion du dessin pour voir que c'est exactement le meme qu'a l'origine. Le rapport entre les deux longueurs ne depend pas de n.


Posted by: Help

Quelqu'un a dit fractale ? Tiens j'aurais cru...

Vous pouvez aller lire cet article, le cas de l'hypothénuse y est mentionné
http://old.rtbf.be/matieregrise/emi...es/dossier.html


Posted by: darkantoine

j'ai envie de dire que la limite de l'ensemble (l'escalier) n'est pas la diagonale... ai-je tort?


Posted by: moutonjr

C'est vrai maintenant, c'est typique des fractales tout ça...
mais je veux dire, en l'infini, l'escalier suit quand même l'hypoténuse, non?


Posted by: Sve@r

Citation:
Posté par moutonjr
C'est vrai maintenant, c'est typique des fractales tout ça...
mais je veux dire, en l'infini, l'escalier suit quand même l'hypoténuse, non?


Oui mais pour chaque crochet, au lieu de suivre le chemin le plus court (l'hypoténuse) ben tu suis les deux cotés du triangle et tu parcours à chaque fois la somme de ces cotés soit 2. Au total tu as donc 2 * 2^n cotés à suivre qui ont chacun pour longueur (1/2^n) ce qui fait toujours 2.


Posted by: emdro

Bonjour,

un seul h (au début) à hypoténuse...


Posted by: Sve@r

Citation:
Posté par emdro
Bonjour,

un seul h (au début) à hypoténuse...

Ah exact. C'est hypothèse qui en prend deux . Désolé, je ne voulais pas te fâcher...


Posted by: emdro

Rassure-toi, je n'étais pas vraiment fâché!










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