Bonjour à tous,
Voilà le problème :
(On travaille avec les complexes)
On se donne un polynôme P en deux variables, symétrique, et de degré deux en chacune de ces deux variables. Il faut montrer qu'il existe un polynôme R en deux variables, symétrique tel qu'on ait :
{(x,z) | il existe y tel que P(x,y)=0 et P(y,z)=0} = {(x,z) | R(x,z) = 0}
Apparemment, ce résultat peut même se généraliser avec des polynômes en deux variables quelconques avec le résultat :
{(x,z) | il existe y tel que P(x,y)=0 et Q(y,z)=0} = {(x,z) | R(x,z) = 0}
mais c'est peut-être un peu plus compliqué.
Merci à ceux qui prendront un peu de temps pour chercher !
Posted by: Rain'
Juste une question, un poynôme symétrique à deux variables de degré deux en chacune des variables s'écrit bien sous la forme :
a (X²+Y²) + b (X²Y +Y²X) + c (X²Y²) + d(X+Y) + e(XY) + f ?
Posted by: fabien44
oui, ça peut s'écrire comme ça.
Ou encore (ay²+by+c)x²+(by²+dy+e)x+(cy²+ey+f) ce qui revient au même.
Posted by: fabien44
En fait on peut voir le problème autrement. On se donne un point x0. On cherche les racines de P(x0,y). Cela nous donne deux solutions : x1 et x'1.
Puis on cherche les racines de P(x1,y) qui sont x0 (par symétrie de P) et x2. De même les racines de P(x'1,y) sont x0 et x'2.
Le tout est de démontrer qu'il existe un polynôme R en deux variables,symétrique, tel que les solutions de P(x0,y) sont x0 compté deux fois, x2 et x'2. On voit d'ailleurs que R serait alors divisible par (x-y)²...
Posted by: Rain'
Je connais pas la théorie des polynômes à plusieurs variables, et encore moins celle des polynômes symétriques mais est ce que
R(x,z) = P(x1,x)*P(x'1,z) ne conviendrait pas.
R(x,z) = 0 <=> P(x1,x) = 0 ou P(x'1,z) = 0 <=> (x = x0 ou x2) ou (z=x0 ou x'2)
Après, est ce que P(x1,x)*P(x'1,z) est symétrique, j'ai pas vérifié mais je pense que ça pourrait marcher.
Posted by: ptite_caro2mars
Salut, personne ne sait répondre à l'exercice que j'ai posé ?
j'ai vraiment besoin d'aide!
Posted by: fabien44
ce n'est pas tout à fait ça car x1 et x1' dépendent de x0 donc le polynôme tel que tu le proposes n'est pas clairement défini. Et la relation que doit vérifier R est R(x0,y)=0 <=> y = x0 (deux fois) ou x2 ou x'2. Et ceux pour tout x0 (en suivant la construction donnée plus haut pour x2 et x'2) et non pas R(x,z)=0 <=> y = x0 (deux fois) ou x2 ou x'2. D'ailleurs, il est très peu probable que le lieu d'annulation de R(x,z) (où x et z sont des variables) se limite à 4 points. En général le lieu d'annulation d'un tel polynôme (sauf cas particuliers) est un courbe ! (une conique par exemple !)
Posted by: Rain'
Je vais essayer d'y réfléchir mais je te promets rien. Tu es en quoi ?
Posted by: fabien44
je suis en master 1 et deux chercheurs n'ont déjà pas réussi à me répondre... Tu peux trouver le problème dans un bouquin étudié en général en licence (mais qui traite de ce qui se faisait il y a de ça quelques decennies en classes préparatoires) qui s'appelle Géométrie projective de Pierre Samuel (chez puf) C'est dans le dernier chapitre, dernier paragraphe sur la définition des compositions de correspondances.
Posted by: Rain'
hum oui j'en suis pas là encore. En tout cas merci pour les références.
Posted by: fabien44
je ne sais pas où tu en es, mais tu sais, les maths s'est aussi une école d'humilité. Il se peut très bien que quelqu'un qui est un niveau "inférieur" voient les choses différemment et trouve la solution à un problème. Il ne faut pas toujours juger par rapport au niveau "institutionnel" de l'enseignement (français) ! Mais ceci est un autre débat.
En tout cas, si tu ne trouves pas et qu'un jour j'ai la solution, je pourrai te faire signe !
Posted by: Rain'
Je remonte cet exo parce qu'il me semble assez difficile et que j'aimerais bien savoir comment faut s'y prendre.
Je vous fais part de mes quelques réflexions, ça va m'aider de mettre ça par écrit parce que je m'y retrouve plus dans ce que je fais sinon.
On se donne un polynôme P en deux variables, symétrique, et de degré deux en chacune de ces deux variables. Il faut montrer qu'il existe un polynôme R en deux variables, symétrique tel qu'on ait :
{(x,z) | il existe y tel que P(x,y)=0 et P(y,z)=0} = {(x,z) | R(x,z) = 0}
Prenons un polynôme P en deux variables , symétrique et de degré deux en chacune de ses variables.
P(x,z) = (ax²+bx+c)z² + (bx²+dx+e)z + (cx²+ex+f)
Soit A = {(x,z) | il existe y tel que P(x,y)=0 et P(y,z)=0}
Or P_y1 (X) = (a*y1²+b*y1+c)X² + (b*y1²+d*y1+e)X + (c*y1²+*ey1+f) = 0
=> X = a1 ou X = b1 avec a1 et b1 les racines de P_y1.
D'où (x=a1 ou x =b1) et (z=a1 ou z=b1)
Donc à chaque y complexe on associe le polynôme P_y qui a pour racines a et b (a et b dépendants de y) et :
(a,b)
(a,a)
(b,a)
(b,b) sont dans A. (Si a=b les couples sont répétés mais c'est pas grave).
Ainsi pour tout y complexe on a l'existence de a et b tels que
P(y,a(y)) = 0
P(y,b(y)) = 0
On veut trouver R(x,z) symétrique tel que R ne s'annulle que pour (x,z)= (a,b) ou (a,a) ou (b,a) ou (b,b).
On fixe y , on a alors a(y) et b(y) fixés.
On considère qu'on a trouvé un tel R. On peut définir R_a(X) = R(a,X).
R_a (X) ne s'annulle qu'en X=a et en X=b par hypothèse.
donc R_a(X) = C * (X-a)^k*(X-b)^l
De même on peut définir R_b(X) = R(b,X) qui ne s'annulle qu'en a et en b.
R_b(X) = C' * (X-a)^k'*(X-b)^l'.
R est un polynôme à deux variables symétriques et d'un certain degré qui vaut k+l = k'+l' >ou=2.
C'est alors que je me suis dit que ça serait pas mal que ce R soit de degré 2. Mais apparemment ça n'a pas toujours l'air d'être le cas comme on le verra par la suite.
Ne sachant pas trop continuer j'ai décidé de tenter de trouver R sur un exemple assez simple
J'ai alors pris P(x,z) = x²z² + 3xz + 2.
Tout d'abord déterminons A :
P(x,y) = 0 => y² x² + 3y x + 2 = 0
On peut supposer y non nul, on voit clairement que si y est nul y a pas de solutions
Y a plus qu'à calculer Delta.
Delta = 9y² - 8y² = y² d'où V(Delta) = y (je sais c'est simple mais c'est fait exprès ).
d'où x = (-3y +-y )/(2y²)
x= -1/y ou x = -2/y.
P(y,z) = P(z,y) = 0 => z = -1/y ou z=-2/y.
Ainsi à chaque y complexe non nul, on peut associer les 4 couples
(x,z) = (-1/y,-1/y)
(-1/y,-2/y)
(-2/y,-1/y)
(-2/y,-2/y).
Reste "plus qu'à" trouver R(x,z) qui s'annulle pour tous ces couples et seulement ceux là.
Allons y simplement , on suppose que R est de degré 2.
donc R(x,z) s'écrirait comme ceci.
R(x,z) = (ax²+bx+c)z² + (bx²+dx+e)z + (cx²+ex+f)
Puis on évalue en les couples qu'on veut qui annullent R.
Ca nous fait un beau système avec un polynôme en y, or on veut que ce résultat soit vrai pour tout y non nul. On identifie pour chaque coeffcient de y et je tombe sur :
Pour les couples (-1/y,-2/y)
(-2/y,-1/y) j'ai :
a=0
b=0
5c+2d = 0
e=0
f=0
et pour (-1/y,-1/y)
(-2/y,-2/y)
a=0
b=0
2c+d = 0
e=0
f=0
ce qui me donne R(x,z) = 0. Bref c'est pas terrible donc soit y a une erreur soit R n'est pas de degré 2 et alors là ça complique "légerement" les choses.
Bon voilà j'essaie de continuer de mon côté. Si quelqu'un a une idée ou si quelqu'un s'aperçoit que j'ai fait une erreur de raisonnement quelconque, merci d'intervenir
).