Probleme DM 1ere S Maths

[khamikaz]

Bonjour, j'aurai besoin de votre aide pour mon DM

Voici la consigne:

Le plan est rapporté à un repèrre orthonormal (O,i,j), pour chaque valeur du réel m, on considère la parabole Pm d'équation:

y= x² - 2(m+1)x + 4(m+1)

1) A l'aide du logiciel Géogébra tracer quelques paraboles Pm, faire une première conjecture sur les paraboles construites.

2) Faire une deuxième conjecture sur le nombre de points d'intersection de Pm avec l'axe des abscisses suivant les valeurs de m

3) Représenter le sommet Sm de la parabole Pm puis faire une conjecture sur le lieu des points Sm lorsque m décrit R.

4) Démontrer ces conjectures.

Voici ma figure sur Géogébra, les points bleus correspondent aux sommets de la parabole Pm lorsque l'on fait varier la valeur de m:



J'ai un problème avec la 1) et 3), et donc la 4) aussi.

Pour la 1): Je pensais dire que les paraboles se ressemblent fortement. Elles sont toutes x²... donc elles représentent la fonction x² mais à différentes abscisses et ordonnées. Est-ce bon ?

Pour la 3): J'ai trouvé les points bleus sur le graphique en tant que sommet des paraboles selon les valeurs de m. Comment démontrer que ces points forment la parabole d'équation -x²+4x ???

Merci d'avance pour votre aide qui me sera précieuse =)

[Ben314]

Salut,
Pour le 1), ce n'est pas ça qui est attendu vu qu'absolument n'importe quelle équation de la forme x²+bx+c (avec a non nul) "représentent la fonction x² mais à différentes abscisses et ordonnées".
Quand on a un certain nombre de courbes, ben souvent, on s'interesse à leurs intersection.

Pour le 3), tu doit savoir trouver les coordonnées du sommet d'une parabole d'équation y= x² - 2(m+1)x + 4(m+1). Evidement, ces coordonnées dépendent de m. Reste à vérifier que, pour n'importe quelle valeur de m, les coordonnées du sommet sont telles que y=-x²+4.

[khamikaz]

D'accord merci, donc pour le 1), il faut que je parle du point de coordonnées (2,4) (car toutes les paraboles se coupent en ce point)

et pour le 3), il faut donc que je mette y=x² - 2(m+1)x + 4(m+1) sous forme canonique ?
Heu, j'essaye ...

x² - 2(m+1)x + 4(m+1) ===> je reconnais (a-b)² avec a= x et b=(m+1)
x²-2(m+1)x + (m+1)²

Heu là, j'avoue que je bloque, comment puis-je arriver à la forme canonique ???

[Ben314]

x² - 2(m+1)x + 4(m+1) ===> je reconnais le début de (a-b)² (avec a= x et b=(m+1)) mais il manque le +b² : je le rajoute et... je le retranche pour que ce soit correct mathématiquement parlant
x² - 2(m+1)x + 4(m+1) = x² - 2(m+1)x + (m+1)² - (m+1)² + 4(m+1) = ...

Sinon, tu peut aussi utiliser le cours qui dit qu'une parabole d'équation y=ax²+bx+c (a non nul) a son sommet en x=...

[khamikaz]

Merci,

Donc ensuite j'ai:

[x+(m+1)]² >= 0
[x+(m+1)]² - (m+1)² + 4(m+1) >= -(m+1)² + 4(m+1)

Le sommet de la parabole se situe donc en [(m+1) ; -(m+1)² + 4(m+1)], est-ce exact ?

On prend par exemple m=2

Le sommet de la parabole se trouvera en [(2+1) ; -(2+1)² + 4(2+1)], soit en (3;3):

Ca correspond donc à ce que j'ai sur le graphique. Maintenant, comment puis-je faire le lien avec y=-x²+4x ???

[geegee]

Bonjour,

x2-2(m+1)x+4(m+1) = 0
delta=4(m+1)puissance2-16(m+1).
delta sup 0 équivaut a 4(m+1)puissance2-16(m+1) sup 0.
4m pui 2+8m+4-16m-16 sup 0
4m pui 2-8m-12 sup 0
delta'=64+192=256
m1=8+16/8=10
m2=6
m appartient a -inf,6 et 10,+inf alors delta sup 0 et 2 points d'intersection

[khamikaz]

Bonjour,

x2-2(m+1)x+4(m+1) = 0
delta=4(m+1)puissance2-16(m+1).
delta sup 0 équivaut a 4(m+1)puissance2-16(m+1) sup 0.
4m pui 2+8m+4-16m-16 sup 0
4m pui 2-8m-12 sup 0
delta'=64+192=256
m1=8+16/8=10
m2=6
m appartient a -inf,6 et 10,+inf alors delta sup 0 et 2 points d'intersection

Sauf erreur de ma part, ceci répondrait plutot à la question 2, non ? Or je ne suis pas bloqué sur cette question ^^

[khamikaz]

Voilà, je bloque sur la 3)

J'ai trouvé que, le sommet de la parabole est le point de coordonnées:

[(m+1) ; -(m+1)² + 4(m+1)]

De là, comment prouver que tous ces points appartiennent à une unique parabole ?

Merci de bien vouloir m'aider =)