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Vieux 26/10/2011, 19h35
tania51
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Post problème de distance minimale

bonjour,

j'ai un souci sur un exercice que voici:

d'après le graphique, on se propose de trouver les positions éventuelles de M sur P pour lesquelles la distance AM est minimale.

1) conjecturer les positions cherchées avec un logitiel de geometrie. ( j'ai reproduit la figure avec le logitiel geolabo mais je n'arrive pas à conjecturer)

enssuite on me donne AM² = x^4 - x^2 + 1 puis ( x² - 1/2)² +3/4 sa fonction canonique.

2) En utilisant le fait que AM est minimale si, et seulement si, AM² est minimal, determiner les positions de M pour lesquelles AM² est minimal. Puis calculer cette distance minimale. ( je n'arrive pas à m'imaginer le problème déjà que je n'arrive pas au 1) )

s'il vous plait merci.


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Vieux 26/10/2011, 21h06
Mortelune
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Bonsoir.

Une fois que tu as reproduit la figure, as-tu essayé de déplacer le point M pour voir ce qui se passait dans différente positions pour la distance AM ?

Ensuite, brutalement, on peut faire le 2 sans rien savoir du 1.
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Vieux 26/10/2011, 22h33
tania51
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bonsoir, pour la 1) oui j'ai fait cette expérience et j'ai vu que la distance diminuait jusqu'à un certain point, cependant je ne voit toujours quoi conjecturer.

enssuite pour le 2) je ne comprend pas l'énoncé, j'ai essayé d'y résoudre mais sans succé...

merci
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Vieux 26/10/2011, 23h09
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Qu'est-ce qui te bloque pour le 2 ?

Pour le 1... C'est vrai que donner en conjecture les positions exacte ce n'est pas évident mais tu peux toujours essayer de conjecturer avec des valeurs approchées.
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Vieux 27/10/2011, 09h32
tania51
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bonjour,

pour les conjectures du 1) d'après le graphique je trouve 2 solutions égal à la valeur minimum AM = 0.87 ; 1ère solution ( -0.71; 0.5) puis 2ème solution (0.73; 0.53 ).
ce sont pour moi les deux seul valeurs ou AM est minimum.


enssuite pour le 2) comment trouver les positions minimales quand AM² est minimal ? Enssuite je pense remplacer ces résultats en utilisant AM = x:( x2 - x1 ) et y:( y2 - y1 )

enfin je crois..

merci
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Vieux 27/10/2011, 17h06
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Pour le 2) l'énoncé te donne quand même explicitement à chercher le minimum de ( x² - 1/2)² +3/4.

Ce qui semble loin d'être insurmontable, il suffit de savoir qu'un carré de réel est positif.
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Vieux 27/10/2011, 17h51
tania51
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bonjour,

tu veut dire en conjecturant les deux fonctions x² et la fonction canonique ?, cela devrait donner x= -1 et x= 1 ou alors je me trompe.

penses tu que c'est la bonne réponse pour le 1) ?
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Vieux 27/10/2011, 17h56
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Pour le 1) tu pourras vérifier après avec la réponse du 2) mais tu es proche de la réponse comme tu le constatera.

Pour la 2) si on te donne : AM² = x^4 - x^2 + 1 = ( x² - 1/2)² +3/4 Alors minimiser AM² revient à minimiser sa forme canonique et donc à minimiser ( x² - 1/2)².
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Vieux 27/10/2011, 18h25
tania51
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si je suis ton raisonnement pour le 2) cela devrait donner :

(x² - 1/2 )² =0
x²-1/2=0
( x - 1/sqrt 2)( x + 1/sqrt 2)=0

donc deux solutions: 1/sqrt 2 et -1/sqrt 2.

pour le 1) j'ai cherché avec le logitiel geolabo la distance la plus petite puis j'ai relevé les valeurs.

voila c'est un peu près tout..
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Vieux 27/10/2011, 18h29
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Pour le 2 tu as bien suivi le raisonnement mais l'as-tu compris ?

Pour le 1) de toute manière sans calcul il n'y a pas grand chose à faire mais tu n'est pas loin du tout ;)
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Vieux 27/10/2011, 18h37
tania51
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oui en fin de compte il fallait chercher en quelle valeur la fonction était minimum. le fait est que cette fonction avait son minimum en 0. il était donc facile comme tu m'a dit de trouver les solutions.


pour le 1) est ce les bonnes réponses car je ne suis pas si sure de moi..

un grand merci quand même à toi.
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Vieux 27/10/2011, 19h03
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Pour le 1) tu as trouvé les réponses exactes au 2 normalement, mais pour conjecturer les réponses exactes juste en regardant une figure il faut avoir une grosse inspiration.
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Vieux 27/10/2011, 20h36
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comme je l'ai dit précédemment mes réponses son précises grâce au logitiel geolabo dont j'ai fait une prise de vue pour le sujet.
le sujet est donc résolu à présent je te remercie grandement pour tes précieuses réponses et tes conseils..

à bientôt
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Vieux 28/10/2011, 19h45
tania51
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bonsoir,

ps : désolé de te rappeler on m'a enssuite à partir du 2) de calculer cette distance minimale...


merci
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Vieux 28/10/2011, 22h12
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AM² correspond au carré de la distance donc AM est la distance (AM>0). Et elle est minimal pour le x que tu as trouvé.
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Vieux 28/10/2011, 22h50
tania51
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faut il que je garde 1/sqrt 2 seulement puisque tu me dit que AM>0.. ou alors je me trompe.

peut tu m'expliquer comment tu ferais pour calculer cette distance ? s'il te plait

merci
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Vieux 29/10/2011, 12h13
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En fait on s'en fiche.

En suivant le même raisonnement que pour trouver les minima sur la forme canonique tu devrais trouver la distance minimale ...
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Vieux 29/10/2011, 18h39
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pour la distance minimal je doit peut être me référer à celle trouver par la conjecture soit AM= 0.87

mais pour calculer cette valeur je ne voit pas comment, car ton raisonnement dernier pour les positions minimal trouver son juste , je ne vois rien d'autre à redire bref je ne sait pas...

merci.
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Vieux 29/10/2011, 22h46
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AM² = ( x² - 1/2)² +3/4

Minimal, d'après vous pour AM²=3/4.

ça semble proche de la réponse non ?...
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Vieux 30/10/2011, 08h30
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bonjour,

en suivant ton raisonnement:

AM² = ( x² - 1/2)² +3/4 à pour minimale AM²=3/4.

donc AM= racine carré de 3/4 et - racine carré de 3/4. cela donne racine de 3/2 et son opposé.

mais comment as tu déduit ce raisonnement...

merci encore
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Vieux 30/10/2011, 10h50
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Tu as bien dû remarquer que AM est une distance comme c'est dit dans l'énoncé, on a la distance entre A et M en fonction de l'abscisse de M qui est un point de la courbe.

Pour éviter de travailler avec une racine carrée on utilise AM², et comme AM est une distance elle est toujours positive sinon ça n'a pas de sens.

Ensuite tu as fait ça :
Citation:
En utilisant le fait que AM est minimale si, et seulement si, AM² est minimale, déterminer les positions de M pour lesquelles AM² est minimale


Donc tu as trouvé les 2 points où la distance est minimale. Tu peux donc faire une application numérique avec une des valeurs trouvées pour en déduire AM ou en utilisant directement la forme canonique "lire" cette valeur minimale.
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Vieux 30/10/2011, 12h34
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Citation:
Posté par Mortelune
Tu peux donc faire une application numérique avec une des valeurs trouvées pour en déduire AM ou en utilisant directement la forme canonique "lire" cette valeur minimale.


faut il que je lise le sommet alpha et beta ? mais dans ce cas cela donne (1/sqrt 2 ; 3/4) avec AM= 0.87........
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Vieux 30/10/2011, 13h43
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Il faut que tu arrives à te visualiser le problème. Comme tu l'as formalisé sous un logiciel ça ne devrait pas te poser trop de problème. Tu as une fonction f telle que pour tout x réel f(x) te donne une valeur positive (qui correspond à AM² pour un point M d'abscisse x). Tu as trouvé les x tels que f est minimale, comment tu fais pour trouver les valeurs minimales de f ?
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Vieux 30/10/2011, 18h11
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bonsoir,

doit on poser ( x² - 1/2 )² +3/4 = 1/sqrt 2 et ( x² - 1/2 )² +3/4 = - 1/sqrt 2 ?

OU

si j'arrive à te comprendre alors tu veux que je cherche f (x) à partir de x donc 3/4....

le souci c'est qu'avec mon logitiel je ne peut que bouger le point M sur la courbe x² , je ne voit donc pas très bien le problème..

merci.
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Vieux 30/10/2011, 23h27
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Que signifient les 2 équations que tu proposes ?

Et que signifie l'autre alternative ?

(Tu peux aussi tracer AM² sur un logiciel ou une calculatrice pour voir les minimas)
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Vieux 31/10/2011, 10h12
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bonjour,

en traçant la courbe x² et f(x) à l'écran de la calculatrice je peut voir les points d'intersection qui sont (-1;1) et (1;1) par contre je ne voit toujours pas comment calculer la distance AM² (car je ne pense pas que l'on peut utiliser la distance valeur absolue |A - B| OU |B - A| bref nous ne sommes pas sur une droite graduée..)

explique moi plus en détaille comment tu fais pour trouver les valeurs minimales de f ?

s'il te plait merci..
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Vieux 31/10/2011, 10h37
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Peut être que tu n'as pas compris qu'AM² était la distance euclidienne entre A et M au carré ?
Pour A=(0,1) et M=(x,x^2) (puisque m est sur la courbe P).
On a AM=d(A,M)=sqrt{(x)^2+(x^2-1)^2) d'où AM^2=x^2+(x^2-1)^2=x^4-x^2+1

Et j'ai envie de te demander, quand tu cherches un minimum tu cherches quoi ?
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Vieux 31/10/2011, 11h18
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Quand on me demande un minimum je cherche dans ce cas alpha et beta non..?

bref comment à tu trouver cela quand tu passes de d(A,M) à la fonction x^4-x^2+1 car je te rapelle que nous n'avons pas vu les vecteurs. Pour le moment j'ai compris que A ( 0;1) et que M ( x ; x² )...

merci.
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Vieux 31/10/2011, 11h28
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C'est quoi l'histoire des alpha et beta ?

Eh bien c'est la définition de la distance euclidienne (après c'est très possible que tu ne l'aies pas vue donc c'est pour ta culture -en gros c'est le théorème de Pythagore appliqué dans un triangle bien choisi), c'est sans doute pour ça qu'elle était donnée alors :
A(x_1,y_1) et B(x_2,y_2) alors d(A,B)=sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}
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Vieux 31/10/2011, 15h19
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ok je viens de comprendre, donc les minimas doit être trouvés d'après ce théorême, est ce possible qu'il y ai les deux mêmes minimas ? Peut on envisager alors de lire tout simplement le alpha et beta de ma fonction ?

Alors comment les trouvent t'on en faisant un calcule comme on me le demande ?

MERCI
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Vieux 31/10/2011, 15h37
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C'est quoi les alpha et beta dont tu parles ? Je n'ai jamais vu ça donc je suis curieux, et en plus ça me permettrai de comprendre ce que tu dis.

Mais il n'y a pas de théorème, Pythagore c'est pour obtenir la distance euclidienne entre 2 points, pas pour obtenir la distance (minimale) entre un point et une courbe.
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Vieux 31/10/2011, 16h17
tania51
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les alpha et beta correspond au sommet d'une fonction polynôme de second degré avec a coeficiant directeur : a ( x - alpha )² + beta . soit pour sommet de coordonné ( alpha; beta ) donc le minimum de la fonction.

dans ce cas le problème est différent car c'est a ( x² - alpha )² + beta donc à mon avis sa ne correspond pas du tout.

c'est pour cela que je te parler de ça. donc à la réponse calculer cette distance minimale tu ma donner la distance euclidienne donc si je remplace les coordonnés des x trouvés auparavant je trouve comme distance :

sqrt de 2 c'est cela ? en replaçant x1,x2 et y1,y2...
il y a donc une seul réponse.

merci
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Vieux 31/10/2011, 16h25
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Donc dans ce cas le minimum de la fonction se trouve en x=alpha et vaut beta.

Le cas que nous avons à présent est-il si différent ?

Et distance=distance euclidienne dans l'exercice.

Par contre "graphiquement" que représente un minimum de fonction ? Tu te raccroche à des formules toutes faites on dirait, ce serait bien d'en avoir une perception un peu plus géométrique je pense :)
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Vieux 31/10/2011, 18h20
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bonsoir,

notre cas est bien différent parceque nous n'avons 1 sommet mais deux sommets il est donc normale que la fonction général avec les lettres ne correspond pas du tout à cet exercice car la fonction est bicarrée.
bref si tu veut plus d'information sur alpha et beta va sur :
http://www.ilemaths.net/maths_1_fon...ynome_cours.php

sur graphique on voit clairement que la fonction posséde deux minimas ( deux sommets ) que l'on a trouvé avec les x...

penses tu que mes résultats sont correctes pour le message de 17h17 car j'ai remplacé par les coordonnés des sommets.

merci
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Vieux 31/10/2011, 18h51
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Quand je te demandai si le cas était si différent c'était pour que tu me répondes non

Le minimum d'une fonction sur un intervalle c'est sa valeur la plus basse. Cette valeur est unique parce que sinon ce ne serait pas "le" minimum mais en revanche il n'y a aucune raison qu'elle ne soit pas atteinte en plusieurs valeur de x, par exemple la fonction constante y=3 a pour minimum 3 et ce minimum est atteint partout.

Sou la forme canonique avec \alpha et \beta dans le cas du second degré on trouve bien que le minimum est \beta comme le terme de gauche atteint son minimum quand il prend la valeur 0. Vu comme ça, y a-t-il vraiment une différence de raisonnement ?
(Ici on peut poser X=x^2 et on revient à la forme que tu connais)

Sinon ton message de 16h17 a l'air pas mal, mais avec seulement une ébauche de raisonnement je ne peux pas te le certifier.
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Vieux 31/10/2011, 20h47
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tu connaissais donc très bien la fonction polynôme du second degré ( tu m'as bien eu la deçu ).

pour la réponse de 17 h 17 et non pas 16h17, je présenterai de cette façon si ma réponse est bonne : j'ai réutilisé ton raisonnement et ton calcul..

soit A ( 0;1 ) et M ( x;x² ). AM = d (AM) sqrt de {(x)² + (x² - 1 )² } d'ou AM² = x² + (x²-1)² = x^4 - x² +1.

alors la distance AM = sqrt de { (x1 - x2 )² + ( y1 - y2 )² }
= sqrt de { (-1/sqrt 2 - 1/sqrt 2 )² + ( 3/4 - 3/4 )² }

la distance minimale AM est donc : sqrt 2.

en espérant que cette réponse sera la bonne, merci.
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Vieux 31/10/2011, 21h46
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C'est l'expression alpha et beta que je connaissais pas, pas la réponse de ton exercice ^^

(et on doit pas être sur le même fuseau horaire alors pour les messages)

Par contre non, déjà sqrt{2} c'est environ 1.4 donc on voit bien que ce n'est pas la bonne réponse et je ne vois pas du tout ce qui te pousse à prendre de telles valeurs pour x et y alors que ce n'est qu'une fonction de x.

Tu a l'air de chercher à appliquer des recettes que tu ne comprends pas et si tu ne me dis pas ce que tu ne comprends pas je vais avoir du mal à t'aider en progressant à tâtons.
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Vieux 31/10/2011, 22h01
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en fait je ne vois pas comment calculer cette distance minimale pourtant tu me donnes des pistes mes ce n'est jamais bon alors explique moi de façon générale avec un exemple précis s'il te plait.

merci.
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Vieux 31/10/2011, 22h50
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La conclusion sera une distance minimale. Mais l'essentiel c'est de trouver le minimum d'une fonction.

Une des plus simple sera sans doute f(x)=x^2. Quel est son minimum ?

La fonction est toujours positive et f(0)=0 donc son minimum est 0.

Si on a g(x)=(x-a)^2+b alors g est toujours plus grande que b et atteint b pour x=a, donc b est son minimum.

Maintenant si h(x)=x^4 - x^2 + 1=( x^2 - 1/2)^2 +3/4 ?

-------------

Ensuite il y a une autre façon de voir la dernière question, j'ai déjà dû le dire aussi mais bon :
On a une fonction h, celle donnée au dessus. On sait que h est minimale en p et q d'après le début de la question, alors le minimum de h est h(q)=h(p) (puisque le minimum est atteint 2 fois).

Et ce minimum c'est la distance minimale au carré parce que la fonction h est une fonction qui donne la distance AM au carré.

Dernière modification par Mortelune 01/11/2011 à 10h57.
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Vieux 01/11/2011, 09h18
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boujour,

que veut tu dire pour p et q , merci.
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