Encore de la topo... pour prouver que le produit de deux espaces
topologiques connexes est connexe, mon bouquin utilise la notion de
composantes connexes.
J'avais essayé de démontrer la propriété avant d'avoir lu le cours
correspondant à cette notion, mais j'étais resté dans les définitions
élémentaires:
X est connexe et Y est connexe; alors si X x Y s'écrit comme réunion de deux
ouverts:
(U (XixYi) , i dans I) U (U (XjxYj), j dans J) où les XixYi et les XjxYj
sont des ouverts élémentaires; on a pour tout k dans I U J: Xk est vide ou
Xk=X car X est connexe et U Xk = X. En particulier par connexité de X il
existe un unique k tel que Xk = X, et donc (U (XjxYj), j dans J) = 0 ou (U
(XixYi) , i dans I) = 0, et X x Y est connexe.
Est-ce correct?
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Julien Santini
Posted by: Julien Santini
> Est-ce correct?
>
Désolé pour ce message, c'est évidemment erroné (la réunion indexée par x
dans IUJ n'est pas disjointe).