Problème dans la construction de N

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Posted by: Aldebaran

Bonjour à tous...
J'ai un petit souci de compréhension dans la démonstration de la commutativité de la multiplication dans N .
Rappels :
$$\Large \forall n \in N \ n.0=0$$ (on dit que 0 est un élément absorbant)
$$\Large \forall n \in N \ 1.n=n$$
$$\Large \forall n \in N \forall p \in N^* \ n.p=[n.(p-1)]+n$$
La loi $$\large \times$$ ainsi définie est associative, commutative et distributive par rapport à l'addition.
Voici la démo de la commutativité :
Notons que l'on a toujours$$\Large \ n.p=p.n$$ si $$\Large \ n=0$$ ou si $$\Large \ p=0$$. Montrons que $$\Large \ n.p=p.n$$ par récurrence sur $$\Large \ n+p=r$$ .
Si $$\Large \ r=0$$ ou $$\Large \ 1$$, $$\Large \ n$$ ou $$\Large \ p$$ est nul et l'assertion est triviale.
Au rang $$\Large \ r+1$$, et si $$\Large \ n+p=r+1$$ avec $$\Large \ n,p \in \ N^*$$, on écrit :

$$\large \ np=n(p-1)+n=(p-1)n+n=(p-1)(n-1)+(p-1)+n$$
$$\large \ pn=p(n-1)+p=(n-1)p+p=(n-1)(p-1)+(n-1)+p$$
Où $$\large \ p-1=p_*$$ représente le prédecesseur de \large \ p de sorte que l'égalité entre ces deux quantité provienne de l'égalité : \large(p-1)+n=(n-1)+p.

Ma question concerne le lancement de cette récurrence (puisque j'ai compris le reste) :
que veut dire "par récurrence sur \large n+p=r", en d'autres termes, d'où sort ce \large r et pourquoi le définit-on à partir de \large n+p ?


Posted by: Nightmare

Bonjour

Lors de certains raisonnement par réccurence, on ne base pas le raisonnement que sur une unique variable comme je pense que tu avais l'habitude de faire. Ici en l'occurence le raisonnement par réccurence se fait sur 2 variable n et p dont celui qui a fait démonstration a décider d'appeller leur somme r par commodité


Jord


Posted by: Aldebaran

hum hum...
çà je l'avais compris cher nightmare, mais relis bien la question : pourquoi ne veut pas dire comment !


Posted by: Nightmare

Pourquoi ? pour la démonstration ... ta question reviendrait a : Pourquoi as-ton démontré cette propriété comme cela.

Ca je n'en sert rien, il n'y a peut être pas d'autre moyen ...


Jord


Posted by: palmade

Pour donner une image géométrique, si je place n en abscisse, p en ordonnée, np est l'aire du rectangle de cotés n & p ,et pn celle du rectangle de cotés p & n. n+p=r sont les équations des parallèles à la deuxième bissectrice, sur lesquelles on peut établir une relation d'ordre total ( au dessous=la plus proche de l'origine) dont on a besoin pour un raisonnement par récurrence.
On suppose donc la propriété np=pn vraie pour tout rectangle au dessous de la r-ième parallèle, et on montre qu'elle est vraie pour tout rectangle au dessous de la parallèle suivante.
Espérant avoir éclairé le sujet...


Posted by: Aldebaran

n+p=r sont les équations des parallèles à la deuxième bissectrice, sur lesquelles on peut établir une relation d'ordre total ( au dessous=la plus proche de l'origine)
Je n'ai pas bien compris ce passage... de quelle bissectrice parle-t-on ? Celle partant de l'origine ?
Sinon je te remercie car j'ai déjà un début de schématisation mentale pour cette récurrence.


Posted by: palmade

Dans un repère orthonormé classique, abscisse x ordonnée y, la première bissectrice a pour équation x-y=0, la seconde x+y=0
les droites n+p=r sont donc des parallèles à la seconde bissectrice, qui s'en éloignent quand r croît...


Posted by: Aldebaran

thank you !!!










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