Probleme de coordonnées de tangente

[masseuro]

Bonjour,
Je réalise actuellement une application en informatique (Bac+3), pour un projet personnel. J'arrive actuellement à un prôblème me permettant d'améliorer le graphisme de mon projet.
Voilà mon prôblème :
(en 2 dimensions)
J'ai cercle dont je connais les coordonnées ainsi que son rayon (nommons le de centre C et de rayon R).
et un point extérieure au cercle A dont je connais aussi les coordonnées.

Je recherche à connaitre les coordonnées de T1 et T2, qui représentent les intersections entre le cercle et 2 de ses tangentes passant par A.

Pour ceux que ça intéresse :
J'indique pourquoi je recherche ceci au cas où un professeur aurait l'envi de faire un exercice concret à ses élèves.
Pour information, ceci me permettra de réalisé un effet de loupe sur une image.
Dans mon cercle est représenté une image agrandie de l'image se situant sur le point A.


Merci d'avance pour le temps passer à la lecture.

[Amine.MASS]

bonjour,
sachant la distance OA,tu peut en déduire l'angle entre OA et T1(sinx=R/OA)
et d mème pour T2.
une fois l'angle est connu le reste est simple
bon courage

[Daragon geoffrey]

slt, histoire de te donner la démonstration, on se place ds le repère orthonormé du plan centré en C=O (origine), alors par définition C a pour équation x^2 + y^2 =R^2, de plus on pose T1(x;y) et T2(x';y'), et A(xa;ya), alors T1 point de contact entre une tangente et le cercle en question équiv à AT1.CT1=0 (produit scalaire nul), or AT1(x-xa;y-ya) et CT1=OT1(x;y) d'où en injectant ds le produit scalaire y^2 -xxa +y^2 -yya=0 or T1 appartient à C équiv à T1 vérifie x^2+y^2=R^2 donc on obtient xxa+yya=R^2 équiv à
OA.OT1=R^2 (produit scalaire), équiv à cos(OA;OT1)=R/OA, car OT1=R et sachant que OA.OT1=OA*OT1*cos(OA;OT1) ! idem avec T2, @ +

[abel]

- Tu peux aussi calculer le gradient qui dirige les normales à la courbe (le cercle). f(x,y)=x²+y²=R² donc grad(f)(P=(a,b)) = (2a,2b) qui est le gradient au point (a,b)
donc le gradient en P est dirigé par le vecteur (a,b). La tagente passe par A(c,d)
- une equation de la tangente en P est donc de la forme <(a,b),(x-c,y-d)>=0
donc a(x-c)+b(y-d)=0.
- La tangente passe par (a,b) donc a²+b²-ac-bd=0 donc ac+bd=R²
(rayon du cercle impose que a²+b² = R²)

Du coup on tombe sur : ax - ac + by + ac-R²=0 donc ax+by=R²

- La tangente passe par A(c,d) donc ac+bd=R² et a²+b²=R²

donc b=(R²-ac)/d et donc on en déduit a par a²+b²=R² (c'est peut etr un peu chiant en calculs, mais ça ne reste qu'un polynome de degres 2 en a) le tout nous conduit à 2 droites dont les paramètres ne dépendent que de R,c et d.

PS : je me suis mis dans un repère de centre 0 (centre du cercle)
Il peut y avoir un pb si d=0, il faudra faire un test pr determiner lequel de c ou d n'est pas nul (sachant que les 2 ne sont jamais nul en meme tps)

[Pythales]

T1 et T2 sont les points d'intersection de C et du cercle de diamètre OA