Soit z= (1+2ik)/(1-2ik), k un entier
Il faut montrer que z n'est pas une racine nieme de l'unité
Pour le montrer, j'ai fait un raisonnement par l'absurde donc jai supposé que z etait une racine niem de l'unité
de la, jai deduit la relation (1+2ik)^n =(1-2ik)^n
Mais après je suis bloqué, je ne vois plus quoi faire
Si vous avez une ptite idée , merci de m'aider !
Posted by: kaya
on est dans donc si (1+2ik)=(1-2ik) on doit avoir
2ik=-2ik tu as ta contradiction pour (sinon c'est moi qui ne comprends rien)
Posted by: forhekset
oui mais on a pas (1+2ik)=(1-2ik) ! on a (1+2ik)^n=(1-2ik)^n
donc ce que tu dis n'est pas bon
j'ai oublié de le dire, mais je sais qu'on doit arriver a un moment a la conclusion que 1+4k² divise 2^m * k² (m un reel ) et qu'il ya semble t'il besoin des modules pour y arriver ( en effet , 1- 2ik est le conjugué de 1+2ik et on sait z*z(barre)= mod(z)² soit ici, mod(z)²=1+4k²)
Posted by: LN1
Bonjour,
j'ai bien une solution mais qui utilise un argument plus simple que celui que tu indiques. Il est possible que je me trompe mais ne vois pas la faille:
Je continue sur ton idée signifie que est réel (c'est toujours le cas quand un complexe est égal à son conjugué
Cela signie que sa partie imaginaire est nulle
Cela signifie que
Soit encore(en divisant par 2ik)
on remarque que,si k est non nul, pour être nulle cette somme doit comporter au moins deux termes donc que n est supérieur ou égal à 3
D'autre part on sait que
En faisant la différence des deux égalités
le terme pour p = 1 est nul,donc
Or, dans on peut mettre en facteur (identité remarquable)
donc est divisible par
donc est divisible par
impossible pour k non nul
donc si (1+2ik)=(1-2ik) on doit avoir 
(sinon c'est moi qui ne comprends rien)
signifie que 
est réel (c'est toujours le cas quand un complexe est égal à son conjugué![\sum_{p impair,p\in[1 ;n]}{n \choose p}(2ik)^p=0](http://www.maths-forum.com/images/latex/c4ee15070ec89fb907546fa3dfcccd06.gif "\sum_{p impair,p\in[1 ;n]}{n \choose p}(2ik)^p=0")
![\sum_{p impair,p\in[1 ;n]}{n \choose p}(-4k^2)^{p-1 \over 2}=0](http://www.maths-forum.com/images/latex/fe8438c31b8b8765be2433d506dcad0f.gif "\sum_{p impair,p\in[1 ;n]}{n \choose p}(-4k^2)^{p-1 \over 2}=0")
![\sum_{p impair,p\in[1 ;n]}{n \choose p} = 2^{n-1}](http://www.maths-forum.com/images/latex/3a9dc71349beea3ffc5193f1f974c443.gif "\sum_{p impair,p\in[1 ;n]}{n \choose p} = 2^{n-1}")
![\sum_{p impair,p\in[1 ;n]}{n \choose p}(1 -(-4k^2)^{p-1 \over 2}) = 2^{n-1}](http://www.maths-forum.com/images/latex/75e188e85cda3364a6677e9133323e62.gif "\sum_{p impair,p\in[1 ;n]}{n \choose p}(1 -(-4k^2)^{p-1 \over 2}) = 2^{n-1}")
![\sum_{p impair,p\in[3 ;n]}{n \choose p}(1 -(-4k^2)^{p-1 \over 2}) = 2^{n-1}](http://www.maths-forum.com/images/latex/737d60bd8c11f5df93f8efb453fa7c23.gif "\sum_{p impair,p\in[3 ;n]}{n \choose p}(1 -(-4k^2)^{p-1 \over 2}) = 2^{n-1}")
on peut mettre 
en facteur (identité remarquable)![\sum_{p impair,p\in[3 ;n]}{n \choose p}(1 -(-4k^2)^{p-1 \over 2})](http://www.maths-forum.com/images/latex/2f0b19389eb54a4a75008be482441aec.gif "\sum_{p impair,p\in[3 ;n]}{n \choose p}(1 -(-4k^2)^{p-1 \over 2})")
est divisible par 
est divisible par 