Probleme arithmétique

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Posted by: lapras

Bonjour, je vous propose le probleme suivant, c'est de l'arithmétique, mais ce n'est pas du niveau olympiades, je poste donc dans énigmes (car en même temps ce n'est pas un exo de terminale !)



Soient A la somme des chiffres de 16^16
et B la somme des chiffres du nombre A. Trouver la somme des chiffres du nombre B sans calculer 16^16.

Bon courage !


Posted by: emdro

16^{16}=2^{54}=2^{10*5+4}
16^{16}=2^{54}<10^{4*5}*2^4<10^{22}
A, la somme des chiffres de 16^16 est donc inférieure à 23*9=207
Comme A<207
Donc B, la somme des chiffres de A est inférieure à 19.
Donc la somme S des chiffres de B est inférieure à 10.

Comme 16^16 est congru à 7^{16} donc à 7 modulo 9, alors
S est congru à 7 modulo 9.

D'où S=7.


Posted by: lapras

Bonjour emdro !
Bravo, c'est la bonne réponse !
Il fallait bien penser au fait que un nombre congrue à la somme de ses chiffres modulo 9.
Moi personnelement j'ai pas dit que A < 19 , j'ai décomposé 16^16 pour arriver à A = 7 (9), c'est un tout petit peu moins rapide !



Posted by: emdro

Bonjour,

Citation:
Posté par lapras
, j'ai décomposé 16^16 pour arriver à A = 7 (9)



que veux-tu dire?


Posted by: emdro

Au passage,
A=88
B=16
S=7 !


Posted by: lapras

Je veux dire :
16^16 = (8*2)^16 = 2^16 [9]
donc
16^16 = 2^(3*4) * 2^4 = (2^3)^4 * 2^4 = 2^4 [9] = 7 [16]
donc
16^16 = 7 [16]

apres j'ai dit que
16^16 = A = B [9]
donc B = S = 7[9]
et apres effectivement j'encadre S en lui donnant une valeur maximale, tout comme toi lol


Posted by: alben

Citation:
Posté par emdro
16^{16}=2^{54}=2^{10*5+4}
16^{16}=2^{54}&lt;10^{4*5}*2^4&lt;10^{22}

Bonjour
Je comprends 16x4 =54 au lieu de 64
2^10 peu différent de 10^4 au lieu de 10^3
et finalement la majoration est très correcte.



Posted by: emdro

Oups; j'ai toujours été nul en tables de multiplication!
Le problème du 10^3, c'est qu'il est inférieur à 2^10.

Mais 16^16=2^64<10^24*16<10^26 nous donne A<243 et b<19 aussi. Ouf!


Posted by: Imod

Citation:
Posté par emdro
Le problème du 10^3, c'est qu'il est inférieur à 2^10.

Eh oui , un kilo est plus petit qu'un kilo-octet , bien connu des informaticiens

Imod










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