probas : reflexion intéressante

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Posted by: davman_63

Bonjour ,

je me fais un raisonnement que je n'arrive pas à modéliser de façon mathématique
, je le sens intuitivement mais pas mathématiquement.

En fait à l'origine c'est en jouant au poker que ça m'est venu, mais parlons
de pile ou face pour bien simplifier la modélisation :

le voici :

la proba de tirer pile est de 0.5 ok ?
de tirer face pareil ! ouais, ça démarre fort

ce qui me dérange c'est l'indépendance ( ou pas justement ) entre plusieurs occurence d'un meme evenement :

je m'explique :
intuitivement, si j'ai déjà tiré trois fois pile de suite je suis tenté de dire
qu'il y plus de chance de tirer face au prochain essai, mais mathématiquement, j'ai toujours
une proba de 0.5 de tirer face ( ou pile d'ailleurs) .


et ainsi de suite: si j'ai déja tiré 50 piles de suite ( rare ok mais imaginons...)
intuitivement , je sens qu'il va y avoir plus de face que de pile dans les prochains lancer...

en fait je me dis que , sur un grand nombre de lancer, on doit retomber sur 0.5 de pile et 0.5 de face,
logique , donc si on est dans un cas ou justement les premiers lancers sont tous tombés sur pile par exemple
ben dans les suivant y'aura plus de chances que d'habitude d'avoir des faces...

et pourtant c'est choquant mathématiquement !!!


je sais pas si je me fais bien comprendre et surtout , si qqn a une loi mathématique pour expliquer cela ça m'interesse


voici un raisonnement intéressant, qu'en pensez-vous?


Posted by: davman_63

bon ben moi je seche en tout cas ....

je vois que je suis pas le seul....


Posted by: G0rk4

j'avoue que c'est pas mal et intéréssant, je vois bien le lien avec le poker vu que je suis un joueur :D "il raise... bon j'ai un jeu pas mal et ça fait 5 fois que je flop rien, j'y vais, je vais surement trouver quelquechose" :D


Posted by: davman_63

exactement ! mais j'arrive pas à avoir une explication mathématique à ce phénomème qui me parait intuitivement correct !

ça me met le cerveau en ébullition !


Posted by: nuage

Salut,
Citation:
Posté par davman_63
...
et ainsi de suite: si j'ai déja tiré 50 piles de suite ( rare ok mais imaginons...)
intuitivement , je sens qu'il va y avoir plus de face que de pile dans les prochains lancer...

ton intuition est différente de la mienne : si je tire 50 piles de suite, je pense que la probabilité de pile est supérieure à 1/2 et qu'il y aura donc plus de piles que de faces dans les lancers suivants.
Dans un registre plus mathématique :
Si on est certain que pile et face sont équiprobables on peut remarquer que ce qu'affirme la loi des grands c'est que le rapport \frac{\text{nombre de piles}} {\text{ nombre de lancers}} tend vers 1/2 quand le nombre de lancers tend vers l'infini.
Or, si on rajoute n piles et n faces on a :
\lim_{n \to \infty}\frac{50+n}{2 n+50}=\frac12.

En d'autres termes 50 est négligeable devant l'infini.

Une dernière remarque :
Quand n devient grand la probabilité d'avoir exactement autant de piles que de faces parmi 2n lancers tend vers zéro. L'équilibre se rétablit en valeur relative (rapport) pas en terme de différence nulle (extrêmement improbable sur un grand nombre de lancers).

A+


Posted by: davman_63

Citation:
Posté par nuage
Salut,
ton intuition est différente de la mienne : si je tire 50 piles de suite, je pense que la probabilité de pile est supérieure à 1/2 et qu'il y aura donc plus de piles que de faces dans les lancers suivants.
A+



Et pourquoi donc ?
la piece est correcte bien entendu !


Posted by: nuage

Si on est certain que la pièce est correcte, alors la proba de pile ne change pas. Mais c'est la première hypothèse dont je douterai.
J'ai beaucoup de mal à croire qu'un disque de métal se souvienne des lancers précédents.

Tu peux aussi lire la suite de mon message juste au dessus.


Posted by: Riemann

si la pièce est correcte, il y a toujours une probabilité de 1/2 de tomber sur pile, et comme les évènements sont indépendants, le fait d'avoir tiré 50 fois pile n'influence pas les lancers suivants.
Ainsi au 51ième lancer, il y aura toujours une probabilité de 1/2 de tomber sur pile.


Posted by: G0rk4

riemann ta réponse ne nous avance pas...


Posted by: alben

Bonsoir,
Je crois que Nuage a dit l'essentiel. Je rajoute juste mon grain de sel pour essayer de concrétiser ce qui se passe avec un exemple "plausible" :
9 lancers -> 3 F 6 P -> écart en valeur absolue= 3 en % = 33%
49 lancers -> 21F 28P -> écart en valeur absolue= 7 en % = 14%
400 lancers->190F 210P->écart en valeur absolue=20 en % = 5%
etc...
La loi des grands nombres dit non seulement que les pourcentages se rapprochent mais aussi que l'écart absolu va en augmentant. C'est d'ailleurs curieusement au même rythme (la racine du nombre d'essais).

On peut d'ailleurs s'amuser à un petit jeu : on lance 50 fois une pièce et l'on constate de combien est le retard (ou l'avance) de pile. C'est ici que le jeu commence : combien faudra-t-il de lancers pour retrouver l'équilibre ?
Pour simplifier, on peut directement fixer l'écart à rattraper (par exemple avance de 10 faces) et lancer le dé jusqu'au rattrapage.
Ca peut aller très vite mais aussi prendre des années...


Posted by: davman_63

Citation:
Posté par alben
Ca peut aller très vite mais aussi prendre des années...


ben oui mais justement , je me dis qu'il a plus de chances que ça se fasse vite que ça prenne des années , non ? la preuve , intuitivement dans ton exemple, tu as respecté cela :

Citation:
Posté par alben
9 lancers -> 3 F 6 P -> écart en valeur absolue= 3 en % = 33%
49 lancers -> 21F 28P -> écart en valeur absolue= 7 en % = 14%
400 lancers->190F 210P->écart en valeur absolue=20 en % = 5%
etc...



Donc ma conclusion, c'est que en imaginant qu'on parie sur un jeu de pile ou face :

une partie commence et oh surprise je remarque, que 6 fois de suite on a eu pile, ben si je tient compte de "La loi des grands nombres qui dit non seulement que les pourcentages se rapprochent " , je vais jouer face (car selon la théorie des probas , ça va probalement s'équilibrer) et donc probablement gagner face a qqn qui fonctionne au coup par coup sans tenir compte des lancer précedents ...

en tout cas ça me parait valable !


En fait ce que je veux dire c'est qu'il me parait intéressant de guetter dans ce genre de jeu de chance les situations ou la loi des grands nombres n'est pas encore respectée ( réalité des faits , par ex : 10 piles de suite ) et miser en se disant que ça va probablement s'équilibrer !!


Posted by: nuage

Salut,
Citation:
Posté par davman_63
ben oui mais justement , je me dis qu'il a plus de chances que ça se fasse vite que ça prenne des années , non ? la preuve , intuitivement dans ton exemple, tu as respecté cela :




Donc ma conclusion, c'est que en imaginant qu'on parie sur un jeu de pile ou face :

une partie commence et oh surprise je remarque, que 6 fois de suite on a eu pile, ben si je tient compte de "La loi des grands nombres qui dit non seulement que les pourcentages se rapprochent " , je vais jouer face (car selon la théorie des probas , ça va probalement s'équilibrer) et donc probablement gagner face a qqn qui fonctionne au coup par coup sans tenir compte des lancer précedents ...

en tout cas ça me parait valable !


En fait ce que je veux dire c'est qu'il me parait intéressant de guetter dans ce genre de jeu de chance les situations ou la loi des grands nombres n'est pas encore respectée ( réalité des faits , par ex : 10 piles de suite ) et miser en se disant que ça va probablement s'équilibrer !!


Je veux bien jouer à des jeux de hasard contre toi. C'est sans doute un bon filon pour s'enrichir.


Posted by: G0rk4

davman fais gaffe, en résonnant comme ça tu vas finir accro de la roulette toi xD


Posted by: emdro

Le texte suivant est extrait de Les probabilités et la vie d'Émile BOREL, PUF, 1958.
Émile BOREL (1871-1956) fut l'un des grands mathématiciens français de la première moitié du xxe siècle et le calcul des probabilités occupa une place importante dans ses travaux.
« ... mettons en évidence le point délicat où les résultats du calcul des probabilités sont contestés au nom du bon sens. Ce point délicat est le suivant: tous les joueurs de roulette ont observé que, sur une longue série de coups, les sorties de la rouge et de la noire sont à peu près aussi nombreuses les unes que les autres. Par exemple sur 1 000 coups, on observera 483 rouges et 517 noires, mais on n'observera jamais 217 rouges contre 783 noires. La plupart des joueurs croient pouvoir conclure de cette observation exacte et d'ailleurs tout à fait conforme au calcul des probabilités que, si durant une certaine période, ils ont observé rouge plus souvent que noire, la roulette a contracté, en quelque sorte, une dette envers la noire et devra acquitter cette dette en faisant sortir la noire plus souvent que la rouge au cours des prochains coups. Dans certains cas, la dette devra même être acquittée immédiatement: si un joueur, en consultant les archives de la roulette au cours d'un grand nombre d'années, a observé que la série la plus longue a été de 24 rouges, ou de 24 noires, ce même joueur, s'il se trouve observer un jour une série de 24 rouges, n'hésitera pas à conclure que la noire doit forcément sortir au coup suivant, «puisqu'il n'y a jamais de série de 25 ». À quoi Joseph BERTRAND répond: «la roulette n'a ni conscience ni mémoire ». C'est lui faire trop d'honneur que de penser qu'elle garde le souvenir de ses égarements et qu'elle tient à les réparer.
1l semble que le «bon sens» devrait suffire à persuader les joueurs que les coups successifs de la roulette sont indépendants les uns des autres. ( ... ) Mais les joueurs sont influencés par un fait indéniable confirmé par de multiples observations: sur un grand nombre de coups, les sorties de la rouge sont à peu de choses près aussi fréquentes que celles de la noire et, pour expliquer ce fait d'observation, ils n'aperçoivent pas d'autre moyen que d'imaginer l'existence d'un mécanisme inconnu qui jouerait le rôle de la conscience et de la mémoire de la roulette et qui l'obligerait à compenser ses écarts. »


Posted by: davman_63

bien joué les gars !


Posted by: juliengoestony

Je suis allé à Las Vegas. En jouant au bandit manchot, après 20 min, j'avais de plus en plus l'impression de pouvoir influencer le hasard et donc envie de jouer de plus en plus. C'est probablement aussi une "fausse intuition" comme Davman63.
Un ami, pourtant très intelligent, avait remarqué que sur une table de roulette le rouge était sorti 11 fois. Sa réaction a été la même que Davman63.
Finalement nous avons trouvé la meilleure façon de jouer: il faut mettre des petit montants. Ainsi on joue plus longtemps.

J'aime bien ces histoires de pile ou face: c'est simple et pourtant ca en tue plus d'un...

Les probabilités ont toujours un "je ne sais quoi" qui n'est pas concret.










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