n points indépendants sont choisis uniformément sur le périmètre d'un cercle. Quelle est la probabilité p_indice-n qu'il existe un demi cercle contenant tous les points ? Indic: trouvez p2, p3. Fixez un point i et trouvez la probabilité p que le demi cercle voisin, dans le sens des aiguilles d'une montre, contient tous les points.
Rép :
il est évident que p2 = 1 car en effet en prenant deux points sur un cercle, ceux ci appartiennent forcement à un demi cercle.
Pour calculer p3, on peut definir une zone de rejet, où il sera impossible d'avoir un demi cercle (pas sûr que ce soit comprehensible). En admettant que cette zone ait un angle theta, on peut dire que p3= 1 - (theta/2pi)...
Maintenant reste plus qu'à gérer le cas général avec le point i ... quelqu'un a une idée ? de l'aide ?
Merci a tous
Posted by: fahr451
bonjour
rem ta proba semble dépendre d un angle théta inconnu...
on fait pareil
on fixe un point i et on regarde ds le sens trigo les n-1 points "après"
chaque point est défini par une var theta j = 2,...,n uniforme sur [0,2pi] les vars sont indépendantes
on veut theta2 =< pi et ....theta n =< pi
et une proba de (1/2)^(n-1)
j'ai quand même un petit doute sur ce que j'avance
j'aimerais le résultat quand tu l 'auras
Posted by: panjabi
salut ! merci pour ta reponse. en fait c'est moi qui ai décidé de faire intervenir un angle theta mais je ne sais meme pas s'il le faut. Disons que ca m'arrangeait bien
c'etait plus pratique pour moi, pour trouver p3...
Posted by: serge75
Considérons l'un des n points (avc n>=2), peu importe lequel, et prenons le comme origine des angles (pris entre 0 et 2.Pi).
Le cas où tous les points sont égaux à ce point est de probabilité nulle donc n'intervient pas. Sinon il y a un autre point et on oriente le cercle de sorte que l'argument de ce point soit entre 0 et Pi.
Soit Xi la variable aléatoire qui au nième point associe son argument ; ainsi on a X0=0 et X1 appartient à [0,Pi]. (et donc p2=1 comme tu l'avais souligné).
p_n s'écrit alors comme l'intersection des évènements , et pour n >=3 X_n suit une loi uniforme sur [0,2Pi]
De là pour n à partir de 2. J'obtiens ainsi à partir de n=2.
Posted by: serge75
fahr, ton résultat ne colle pas avec n=2. Ceci est je pense dû au fait que le deuxième point est libre, et détermine l'orientation ; il n'est pas tenu d'être dans [0,Pi]. A confirmer
Posted by: fahr451
ben oui
j'avais raison d'être dubitatif j'aurais du regarder n= 2
oui le deuxième point détermine quel demi cercle considérer "en haut ou en bas "
ensuite inutile de faire une récurrence théta3=<pi et ...thetan =<pi est de proba (1/2)^(n-2) par indépendance
Posted by: panjabi
merci, je vais jeter un oeil dessus, essayer de comprendre un peu le raisonnement, je reviendrais si je lutte.
![(X_i\in[0,\pi])](http://www.maths-forum.com/images/latex/d9a605fbbbb3f189f0f234af75ac4cd5.gif "(X_i\in[0,\pi])")
, et pour n >=3 X_n suit une loi uniforme sur [0,2Pi]
pour n à partir de 2. J'obtiens ainsi 
à partir de n=2.
