Probabilités : un probleme d'urnes

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Posted by: Cachou-doo

Bonjour à tous !

Encore un probleme de proba ou je bloque...(et ce ne sera surment pas le dernier !)

On dispose de N+1 urnes numérotées de 0 à N.
L'urne numéro k contient k boules rouges et (N-k) boules noires.
On tire une des urnes avec équiprobabilité, puis on procède avec cette urne à une série de n tirages avec remise.

a) Calculer la probabilité d'avoir choisi l'urne n°1 sachant qu'on a tiré n boules rouges.
b) Calculer la probabilité de tirer n boules rouges.
c) Calculer la probabilité de tirer une boule rouge au tirage (n+1)sachant qu'on a déja tire n boules rouges.
d) Determiné les limites des probabilités précédentes quand N tend vers l'infini.

Je suppose que pour la question a), il faut utiliser la formule P(B|A) = P(B"inter"A) / P(A) , mais dans ce cas j'utilise deja la reponse à la question b) !!
Bref, je ne vois pas vraiment comment m'y prendre....


Posted by: Cachou-doo

J'ai beau chercher, ... je crois que mon probleme est dans la compréhension des questions !!

Pour la question a), j'ai nommé deux evenement :
A : "on tire n boules rouges"
B : "on a choisi l'urne n°1"

Ensuite, je trouve P(a"inter"B) = (1/N)^n (car il n'y a qu'une seule boule rouge dans l'urne n°1, et qu'on fait n tirages avec remise.

Pour P(A), je trouve (k/N)^n, car pour une urne quelconque, il y a k boules rouges.

ainsi, je trouve P(B|A) = (1/k)^n

Pour la question b), je pensais à faire le produit de k=0 à k=N de (k/N)^n....

Pour les questions c) et d), je ne vois pas du tout comment faire...

Merci à ceux qui pourront me donner un petit coup de pouce !!


Posted by: gol_di_grosso

Citation:
Posté par Cachou-doo

Pour la question a), j'ai nommé deux evenement :
A : "on tire n boules rouges"
B : "on a choisi l'urne n°1"

Ensuite, je trouve P(a"inter"B) = (1/N)^n (car il n'y a qu'une seule boule rouge dans l'urne n°1, et qu'on fait n tirages avec remise.

Pour P(A), je trouve (k/N)^n, car pour une urne quelconque, il y a k boules rouges.

ainsi, je trouve P(B|A) = (1/k)^n

c'est bizarre que ton résultat dépende de k, non ?
A mon avis P(A) ne doit pas dépendre de k et c'est là que je j'arrive pas


Posted by: Cachou-doo

Effectivement c'est vraiment bizarre, mais je ne vois pas d'autre solution...


Posted by: gol_di_grosso

pour la a), je pense qu'il faut déjà calculer le nombre total de boule rouge
c'est à dire \large 0+1+2+..+N=\sum_{k=1}^N k = \frac{N(N+1)}{2}
dans l'urne 1 il y a une rouge donc la proba de tombé sur celle là est de \large \frac{1}{\frac{N(N+1)}{2}}= \frac{2}{N(N+1)}
puis après on refait ça n fois donc là je mettrais à la puissance n et on trouve (peut-être) la proba d'avoir choisit l'urne numéro 1 en ayant tiré n boules rouges cad :
\large \(\frac{2}{N(N+1)}\)^n
si N=1 la proba est bien de 1 et si N tend vers l'infini la proba va vers 0. Bon si N=0 ça marche pas très bien mais en même temps dans ce cas l'urne 1 n'existe pas...

Je suis quand même pas très sûre.
<<NON c'est faux, c'est pas ça>>


Posted by: Cachou-doo

Bonne idée de calculer le nombre de boules rouges total ! je N'y avais même pas pensé...

Moi je calcule la probabilité de tirer n boules rouges dans l'urne n°1. Comme il n'y a qu'une seule bouge rouge dans cette urne et que l'on fait un tirage avec remise, et je trouve P=(1/N)^n

Ensuite, je calcule la probabilité de tirer n boules rouges parmis toutes les boules rouges : P'=(N(N+1)/2N^n)^n, puisqu'on fait des tirages avec remises.
(nombres de cas favorables sur nombres de cas possibles, le tout à la puissance n pour les n tirages)

Enfin, je fais le quotient de P par P', et je trouve P("avoir choisi l'urne n°1 sachant qu'on a tiré n boules rouges") = (2N^(n-2)/N+1)^n

je ne suis pas sure non plus de mon resultat...mais si N=1 la proba est aussi de 1, et si N=0, la proba est de 0


Posted by: gol_di_grosso

mais si on fait tendre n vers l'infini et qu'on prend par exemple N=5
(2N^(n-2)/N+1)^n va tendre vers l'infini alors que ça devrait être plutôt 0
c'est horrible ces éxos


Posted by: Cachou-doo

Le probleme c'est que je vois vraiment pas comment faire autrement...
Les proba ça me désespère...


Posted by: gol_di_grosso

Citation:
Posté par Cachou-doo
Le probleme c'est que je vois vraiment pas comment faire autrement...
Les proba ça me désespère...

ba moi aussi et en plus c'est que le début

je sais que c'est chiant mais y a pas quelqu'un d'autre qui aurait une idée ?


Posted by: Cachou-doo

personne qui soit à peu pres sur de son raisonnement et qui pourrait nous aider ??? (Parce que laje vais finir par abandonner....)


Posted by: nuage

Salut,
la question a) est en effet bizarre. Je me demande si il ne s'agit pas plutôt de calculer la proba de tirer n boules rouges sachant que l'on a choisi l'urne 1.

Pour la question b) on calcule la proba de tirer n boules rouges sachant que l'on a choisi l'urne k.
Elle est égale à {\left(\frac{k}{N}\right)}^n.
La proba de l'évènement :<<on a pris l'urne k et tiré n rouges>> est donc \frac1{N+1}{\left(\frac{k}{N}\right)}^n
Les évènements <<on a pris l'urne k>> k\in\{0\ldots N\} forment un système exhaustif.
La proba de tirer n rouges est donc \displaystyle \sum_{k=0}^N{\frac1{N+1}{\left(\frac{k}{N}\right)} ^n} \,=\,\frac1{(N+1)N^n}\sum_{k=1}^N {\,k^n}

On peut alors répondre à la question a)


Posted by: gol_di_grosso

Citation:
Posté par nuage
Salut,
la question a) est en effet bizarre. Je me demande si il ne s'agit pas plutôt de calculer la proba de tirer n boules rouges sachant que l'on a choisi l'urne 1.

oui mais à ce moment là si on fait la même chose avec l'urne N, on aura la proba de tirer n boules rouges sachant que l'on a choisi l'urne N et ça c'est égal à 1.
Je suis d'accord avec ta proba de tiré n rouges, mais quand je fais
\large P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}
A : proba d'avoir choisit l'urne 1
B : proba de tiré n rouge
P(A \cap B)=\frac{1}{N^n}
et comme tu l'as dis P(B)=\frac{1}{(N+1)N^n} \times \sum_{k=1}^N k^n
donc :
\large P(A|B)=\frac{\frac{1}{N^n}}{\frac{1}{(N+1)N^n} \times \sum_{k=1}^N k^n} =\frac{N+1}{\sum_{k=1}^N k^n}
et si je me suis pas trompé en prenant N=1 ça fait 2

mais je sais pas si on peut utiliser cette formule
et il est moche mon inter comment on peut le faire plus petit ?


Posted by: nuage

Salut,
avec tes notations on a P(A\cap B)=P(B|A)\times P(B) =\frac1{(N+1)N^n} d'où
\displaystyle P(A|B)=\frac{1}{\sum_{k=1}^N k^n}
Et, bien entendu, si il y a seulement une urne avec une boule blanche et une urne avec une boule rouge la proba d'avoir pris l'urne 1 sachant qu'on a tiré une (ou plus) boule rouge est 1.

Une remarque sur les limites demandées à la fin : on peut penser à des sommes de Riemann.


Posted by: gol_di_grosso

Citation:
Posté par nuage
Salut,
avec tes notations on a P(A\cap B)=P(B|A)\times P(B) =\frac1{(N+1)N^n} d'où
\displaystyle P(A|B)=\frac{1}{\sum_{k=1}^N k^n}
Et, bien entendu, si il y a seulement une urne avec une boule blanche et une urne avec une boule rouge la proba d'avoir pris l'urne 1 sachant qu'on a tiré une (ou plus) boule rouge est 1.

Une remarque sur les limites demandées à la fin : on peut penser à des sommes de Riemann.


oui d'accord mon P(A \cap B ) était faux










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