Une première question est consacrée à une étude de suites qui interviennent dans cette application.
1. Soit a un nombre réel non nul différent de 1. On considère les suites ( an )n N et (bn) n N définies par :
a0 = 0 et b0= 1
pour tout entier naturel n on a : an+1= an + (1- alpha)/2 *bn et bn+1= alpha bn
1.a. Exprimer b n en fonction de n et de alpha pour tout entier naturel n.
1.b. En déduire la valeur de an+1 - an et montrer par récurrence que an = 1/2 ( 1- alpha^n) pour tout entier naturel n.
2. Etant donné un gène possédant un couple d'allèles A et a, on dit qu'une plante est homozygote lorsqu'elle contient les deux
mêmes allèles sur une paire de chromosomes homologues : elle est alors de génotype AA ou aa. Une plante est hétérozygote
lorsqu'elle est de génotype Aa. Certaines plantes, par exemple le lupin, se reproduisent par autogamie (ou autofécondation) : tout
se passe pour la descendance comme si on fécondait deux plantes de même génotype, chaque chromosome d'une paire étant
sélectionné au hasard.
2.a. Compléter larbre pondéré concernant une plante de génotype Aa et ses descendants par autogamie
En déduire les probabilités pour qu'une plante de génotype AA, ou Aa ou aa donne par autogamie une plante de génotype AA,
Aa ou aa. On présentera les résultats sous forme de tableau.
Ainsi, à l'intersection de la colonne Aa et de la ligne aa on fera figurer la probabilité pour qu'une plante de génotype Aa donne
par autogamie une plante de génotype aa.
2.b. Partant d'une plante hétérozygote (génération 0), on constitue par autogamie des générations successives. On note :
- AA n l'événement "la plante de la n-ième génération est de génotype AA" ;
- Aa n l'événement "la plante de la n-ième génération est de génotype Aa" ;
- aa n l'événement "la plante de la n-ième génération est de génotype aa".
On appelle x n la probabilité de AA n , y n la probabilité de Aa n , et z n la probabilité de aa n ; en particulier x 0 = 0 ; y 0 = 0 ;
z 0 = 0. Calculer x 1 , y1 et z 1 . Expliciter les probabilités conditionnelles :
de AA n+1 sachant que AA n ; de AA n+1 sachant que Aa n ; de Aa n+1 sachant que Aa n .
Utiliser ces probabilités conditionnelles pour compléter larbre pondéré suivant
En déduire que :
xn+1 = xn + 1/4 yn et yn+1= 1/2yn pour tout entier naturel n.
Utiliser les résultats de 1. pour donner les valeurs de
x n et de y n puis de z n en fonction de n
2.c. On garde les hypothèses et notations de b.
Calculer la probabilité pn pour qu'une plante de la nième
génération ne soit pas homozygote. A partir de
quelle génération (caractérisée par son numéro
d'ordre n) a-t-on pn
Voila j'ai ceci a faire mais sachant que je n'ai pas pu suivre les cours et que j'ai essayé moi même de comprendre un cours sur les probabilités.. je trouve cela difficile donc j'ai besoin qu'on m'aide , s'il vous plait :s !! Merci d'avance