probabilités

(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)





Posted by: farator

Salut,
voilà un exercice qui est dans mon livre. Mais je ne connais pas la solution, et mon prof m'a dit "qu'il était relativement compliqué".

On dispose de trois crayons de couleurs: rouge, jaune et orange. On souhaite colorier les six faces d'un cube. Combien y-a-t-il de possibilités ?


Posted by: rugby09

Citation:
Posté par farator
Salut,
voilà un exercice qui est dans mon livre. Mais je ne connais pas la solution, et mon prof m'a dit "qu'il était relativement compliqué".

On dispose de trois crayons de couleurs: rouge, jaune et orange. On souhaite colorier les six faces d'un cube. Combien y-a-t-il de possibilités ?

toute les faces doivent etre colorier?


Posted by: Patastronch

Citation:
Posté par rugby09
toute les faces doivent etre colorier?

Citation:
On souhaite colorier les six faces d'un cube.


Par contre, est ce qu'on considère que les faces sont discernable ou il faut considérer les coloriages identiques par rotation comme étant les mêmes ?

P.S: faut pas confondre dénombrement et probabilité !


Posted by: lapras

salut
On peut écrire ca sous la forme de
R : rouge
V : vert
B : bleu
donc les six faces :
BBBBBB
BBBBBR
etc..

il y a 3^6 possibilités non ?


Posted by: AL-kashi23

Citation:
salut
On peut écrire ca sous la forme de
R : rouge
V : vert
B : bleu
donc les six faces :
BBBBBB
BBBBBR
etc..

il y a 3^6 possibilités non ?


Il faudrait savoir si par exemple BBBBBR, BBBBRB, RBBBBB ,...., par exemple sont considérés comme le même "tirage" ... Si non, alors oui 3^6 possibilités mais dans le cas contraire ça restreint les possibilités ....


Posted by: nodgim

Attention, ce n'est pas un calcul de proba, mais de dénombrement.
Total:75
Détail des triplets de couleur (ABC):
600:1
060:1
510:1
420:2
330:2
240:2
150:1
141:2
231:5
321:5
411:2
501:1
051:1
402:1 si les 2 c sont jointifs
312:4
222:6
132:4
042:1
402:1 si les 2 c ne sont pas jointifs
312:1
222:2
132:1
042:1
xx3:8 si les 3 c ont un sommet commun
xx3:8 si les 3 c n'ont pas un sommet commun
xx4:8
xx5:2
xx6:1

Ouf, si quelqu'un veut vérifier, c'est pas de refus.


Posted by: CC_

Citation:
Posté par AL-kashi23
Il faudrait savoir si par exemple BBBBBR, BBBBRB, RBBBBB ,...., par exemple sont considérés comme le même "tirage" ... Si non, alors oui 3^6 possibilités mais dans le cas contraire ça restreint les possibilités ....

Evidemment oui, c'est le même "tirage". Sinon le problème n'aurait aucun intérêt.
Il me semble qu'historiquement, c'est Georg Polya qui est à l'origine de la résolution de ce type de problèmes où on cherche à colorier des objets mobiles, et donc où un grand nombre de solutions sont en fait identiques si on tourne ou bouge l'objet de façon adéquate.
On appelle cela un "modèle" de coloriage. Ce problème est une variante du problème de "coloriage du carré".

Il y a tout un attirail mathématique derrière cela : théorèmes de Polya et de Burnside, action d'un groupe de permutations...

Un "modèle" de coloriage formellement, est l'orbite obtenue par une certaine action du groupe symétrique sur l'ensemble des coloriages, qui sont eux-mêmes formalisés comme applications de l'ensemble des côtés vers l'ensemble des couleurs.

Un doc très bien fait pour ceux qui connaissent les groupes : http://www.dma.ens.fr/culturemath/m...combi/polya.pdf
Et un autre pour ceux qui ne les connaissent pas : http://bayledes.free.fr/denombrement/denombrement.pdf


Posted by: Teacher

63 possibilités ?










-