Probabilités (Paradoxe des anniversaires)

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Posted by: Futeko

Bonjour,

Galérant beaucoup sur ce problème, je me demandais si vous n'aviez pas quelques conseils pour m'aider à le résoudre :)

L'énoncé est : "Combien de personnes faut-il réunir pour avoir une probabilité supérieure à 0,5 que deux d'entre elles aient leur anniversaire à au plus un jour d'intervalle (par ex. le 2 mars et le 3 mars, le 5 janvier et le 5 janiver, le 7 février et le 6 février, ...) ?".

C'est un exercice dérivé du Paradoxe des anniversaires, mais je n'arrive pas à établir le lien entre les deux. On m'avait suggéré de couper le problème en 3 (du style : 2 anniversaires le même jour, 1 anniversaire la veille de l'autre, 1 anniversaire le lendemain de l'autre), où l'on trouverait la même probabilité pour les 3 cas, et par conséquent ce serait simplement la réponse au Paradoxe des anniversaire mais en 3 fois plus probable. Ca me semble incorrect vu que pour moi on compte 2 fois certains cas (une personne A ayant son anniversaire la veille d'une personne B implique que la personne B a son anniversaire le lendemain de la personne A, or ce cas unique serait compté 2 fois).

Je pense que le problème que j'ai provient de la construction des cas favorables (ou "défavorable" vu que je cherche à résoudre en fait : 1 - Pr[2 personnes n'aient pas leur anniversaire à au plus un jour d'intervalle]). En effet, pour répartir N personnes sur 365 jours de sorte qu'elles ne respectent pas la propriété énoncée, pour la première on a 365 possibilités, pour la deuxième on en a 362, ... , pour la N-ième on en a 365-3*(n-1).
Serait-ce quelque chose du style : http://img410.imageshack.us/img410/9052/probaqz2.gif ? Il faudrait alors 14 personnes, vu qu'on trouve alors une probabilité de 0,54 contre 0,48 pour 13 personnes. Ca me semble plausible mais je ne suis pas du tout certain du raisonnement.

Merci d'avance pour votre aide :)


Posted by: vincent.pantaloni

Tes remarques sont pertinentes, il faut en effet faire attention à ne pas compter deux fois la même chose. Ta méthode parait correcte, mais je pense que c'est faux. Je te donne un contre-exemple:

Pour la 1ere personne 365 possibilités (d'accord, mettons le 2 janv)
Pour la 2eme personne 362 possibilités (d'accord, tout sauf 1,2 et 3 janv) mettons là donc (je suis vicieux) au 4 janv.
Pour la 3eme, ce ne seront pas 362-3 mais 362-2 possibilités puisque tu as déja retiré le 3 janv donc tout sauf 1, 2, 3, 4, 5 janv. Ca fait 360...
Cette technique de comptage parait donc inapropriée, il faut trouver autre chose ou raffiner...


Posted by: Futeko

Effectivement je n'avais pas pensé à ça, merci du conseil :).

En excluant les années bissextiles, on retire à chaque fois deux possibilités après la 2e personne ; en continuant sur l'exemple que vous avez donné : la première naîtrait le 2 janvier (parmi 365 possibilités), la 2e le 4 janvier (parmi 362 possibilités), la 3e le 6 janvier (parmi 360 possibilités), ... la 183e le 30 décembre (parmi 2 possibilités). La 184e naîtra obligatoirement à au plus un jour d'intervalle d'une autre personne.

Je devrais donc modifier le numérateur et donc prendre le produit de 3 à n de (360-2*(n-3)), multiplié par (365*362). Donc 365*362*360*358*...

En ce cas il faudrait 17 personnes pour obtenir une probabilité > 0,5 (à savoir 0,502), contre 16 personnes (Probabilité de 0,469).


Posted by: vincent.pantaloni

Attention, je t'ai montré que ton calcul était faux mais pas que mon contre-exemple te donnait la bonne façon de compter. Je viens de réfléchir au problème, je pense qu'on peut en effet se ramener au problème des anniversaires en distinguant trois cas. Suppose les dates numérotées de 1 à 365. Un cas "favorable" est quand 2 personnes sont
1) nées le même jour ou bien
2) nées des jours i et i+1 où i est impair, ou bien
3) nées des jours p et p+1 où p est pair.
La distinction des deux derniers est artificielle à cause de la modélisation que je te propose:
Le cas 1) tu sais faire.
Pour le cas 2) tu peux imaginer "souder" ensemble les couples de jours de la forme (i, i+1) en un seul "jour". Tu te retrouves alors avec le pb des anniversaires avec une "année" avec moins de jours. Le cas 3) se traite pareillement. Dis moi si ce n'est pas clair. Un schéma peut aider, et le cas du 31 Dec/1er Jan est peut être à détailler selon si tu considères que ce sont des dates identiques au jour près ou non.


Posted by: Futeko

Donc on aurait :

http://img262.imageshack.us/img262/9818/proba2wm2.gif

En multipliant les probabilités entre elles, on obtient N >= 10. Ca me semble un peu faible :s.

Aussi, je ne comprend pas pourquoi la méthode de dénombrement de l'essai précédent ne fonctionne pas ; si vous pouviez éclairer ma lanterne à ce sujet, ce serait gentil :).

Merci encore pour vos conseils :)


Posted by: vincent.pantaloni

Citation:
Posté par Futeko
En multipliant les probabilités entre elles, on obtient N >= 10. Ca me semble un peu faible :s.

Tu as bien noté les "ou bien", il faut additionner ces probas, pas les multiplier.
http://www.maths-forum.com/images/l...21a28fd21eb.gif
dans le cas d'une union disjointe, ce qui est le cas ici.
Dans ton dénombrement précédent, tu plaçais les dates "au plus serré" possible, en faisant cela tu trouves quel est le nombre max de personnes qui peuvent avoir des dates différant au plus d'un jour mais le calcul de la proba cherchée est impossible à obtenir ainsi car il y a bien d'autres arrangements possibles.
Bon courage.


Posted by: Futeko

Merci, j'ai compris l'erreur de l'essai précédent :)

Pour le dernier, ce que je ne comprend pas, c'est qu'en effectuant une simple somme, on arrive à la base à des probabilités <0 ; De même, pour arriver à une proba >0,5 , il faudrait 30 personnes, ce qui sera un événement plus improbable que d'avoir 2 personnes ayant leur anniversaire le même jour ; ça me semble illogique :/


Posted by: Futeko

Ah mais j'ai sans doute fait une erreur de calcul ; je faisais :

p = 1-(Pr[A]+Pr[B]+Pr[C])

Or ce ne serait pas plutôt :

p = (1-Pr[A])+(1-Pr[B])+(1-Pr[C]) ?

En ce cas je trouve 9 personnes pour une proba de 0,503 ; ça me semble bien plus logique, vu que c'est plus probable que le simple paradoxe (23). Dans la première partie de l'exercice, on devait calculer le nombre de personnes pour que 2 aient non pas le même jour mais je même mois, et j'ai trouvé 5 par simple transposition du paradoxe ; 9 étant dans l'intervalle, ça me semble plausible. Pourriez-vous me confirmer que je suis dans la bonne voie s'il vous plaît :) ?

Dans tous les cas, merci beaucoup pour votre grande aide :).


Posted by: Lbsg

Bonjour!
C'est plutot (1-pr(A))+ (1-pr(B))+ (1-pr(C)) effectivement mais je ne suis pas sûr que les trois évènements soient bien disjoints, il y aurait sans doute un correctif à ajouter en calculant la probabilité d'avoir deux personnes nées le meme jour et deux personnes nées à un jour d'intervalle (probabilité non nulle pour n>=2)


Posted by: Futeko

Elles me semblent disjointes :

1) nées le même jour
-> (i,i) ; par ex (7,7)
2) nées des jours i et i+1 où i est impair
-> (i tel que (i mod 2 > 0), i+1) ; par ex (3,4)
3) nées des jours p et p+1 où p est pair
-> (i tel que (i mod 2 = 0), i+1) ; par ex (2,3)

On ne peut trouver de couple (k,l) satisfaisant plus d'une des 3 propriétés, donc pour moi les 3 cas sont disjoints :o


Posted by: fluidistic

Si j'ai bonne mémoire, j'ai lu la réponse sur wikipédia et c'est 23 personnes. Si tu peux comparer avec ta réponse, super.


Posted by: Futeko

23 personnes pour le Paradoxe des anniversaires simple, i.e. le nombre de personnes à réunir pour avoir une probabilité >0,5 que 2 personnes aient leur anniversaire le même jour. L'énoncé ici est différent, à savoir qu'on ne cherche pas des personnes ayant leur anniversaire le même jour, mais à au plus un jour d'intervalle, ce qui complique l'affaire.


Posted by: Lbsg

Citation:
Posté par Futeko
Elles me semblent disjointes :

1) nées le même jour
-> (i,i) ; par ex (7,7)
2) nées des jours i et i+1 où i est impair
-> (i tel que (i mod 2 > 0), i+1) ; par ex (3,4)
3) nées des jours p et p+1 où p est pair
-> (i tel que (i mod 2 = 0), i+1) ; par ex (2,3)

On ne peut trouver de couple (k,l) satisfaisant plus d'une des 3 propriétés, donc pour moi les 3 cas sont disjoints :o


Oui mais si on a plusieurs couples (on a 9 personnes par exemple), on peut avoir un couple vérifiant 1), un autre (distinct) vérifiant 2), on compte alors ce cas là 2 fois en additionnant les probas, lorsque l'on compte les cas 1) et lorsque l'on compte les cas 2).










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