Mathématiques - Probabilités et mouvement brownien

Probabilités et mouvement brownien
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Posted by: Valbert

J'ai déjà posé ce problème et personne ne peut y répondre... Je commence a me demander si la solution existe bel et bien (désolé pour ceux qui auront un gout de deja vu) :

le problème est le suivant, j'ai une fonction suivant une équation du type black and scholes, c'est à dire telle que
$<br /> \frac{dS(t)}{S(t)} = \mu * dt + \sigma dW_t$

où $W_t$ est un mouvement brownien, et $\mu$ et $\sigma$ sont des constantes connues.
$t \epsilon [0,T]$

On recherche $P(sup(S(t))_{t<T} > \alpha)$ avec $\alpha$ une constante donnée.

piste : On montre « aisément » que si W(t) suit un mouvement Brownien standard, que $P(\sup_{t<T}(W(t)<\alpha) =2*P(W(T)>a)$ , Ceci grâce au raisonnement de symétrie, et la propriété de Markov faible.
Ce qui aide a trouver la solution lorsqu'il n’y a pas de drift (ie : $\mu = 0$ ). mon gros probleme est donc le cas général ou $\mu > 0$

Si quelqu'un pouvait m'aider ca serait super gentil...

Posted by: mathelot

Bjr,

j'y connais rien, mais les différentielles ont l'air exacte.

pourquoi ça ne s'intégre pas en:

$\displaystyle S=S_0 \, \exp( \mu t + \sigma^2 W(t) )$

?

Posted by: RJGJ

Bjr,

Non je ne crois pas que l'on ait le droit d'integrer de cette manière...

Il y a peut-être une piste avec le lemme d'ito qui nous permet d'arriver à (après discrétisation) : $S(t_k)=\exp((\mu - \frac{1}{2} \sigma^4)\delta t+\sigma^2 \sqrt{\delta t}W(t_{k-1}))S(t_{k-1})$
Ensuite tu fais tourner un algo qui te calcul tes probabilités.... Fastidieux mais ca devrait marcher...

Posted by: mathelot

Citation:

Posté par RJGJ

Bjr,

Non je ne crois pas que l'on ait le droit d'integrer de cette manière...

Pourquoi ? je ne suis pas sûr de moi mais j'ai indiqué un argument:
égalité de deux différentielles exactes.
Je dirai que ça coince après: on obtient S comme la somme
de deux processus stochastiques ?

Il y a peut-être une piste avec le lemme d'ito qui nous permet d'arriver à (après discrétisation) : $S(t_k)=\exp((\mu - \frac{1}{2} \sigma^4)\delta t+\sigma^2 \sqrt{\delta t}W(t_{k-1}))S(t_{k-1})$

En m'informant sur le problème, j'ai lu qu'une hypothèse conduisant à la formule de Black and Scholtes était la non-discrétisation du temps.
C'est une condition de validité de cette formule, d'après Wiki.