Probabilités et indépendance

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Posted by: wasteland93

Bonjour à tous,

J'ai une question relativement basique...
Est ce que si j'ai X et Y deux variables aléatoires indépendantes, je peux dire que f(X) et g(Y) le sont également?
Pour moi la réponse est oui mais ce n'est pas clair dans ma tête...

Merci d'avance,

Wasteland93.


Posted by: BQss

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Posté par wasteland93
Bonjour à tous,

J'ai une question relativement basique...
Est ce que si j'ai X et Y deux variables aléatoires indépendantes, je peux dire que f(X) et g(Y) le sont également?
Pour moi la réponse est oui mais ce n'est pas clair dans ma tête...

Merci d'avance,

Wasteland93.

Salut,

Oui si f et g sont continues ou mesurables plus generalement.
Deux variables aleatoires sont independantes ssi leurs tribus sont independantes. C'est a dire si quelque soit les valeurs des variables aleatoires considérées, les evenements correspondant sont independants.
donc ici si X et Y sont independantes on a quelque soit A appartient a \sigma(X) et B appartient a \sigma(Y) P(X^{-1}(A) \cap Y^{-1}(B)) = P(X^{-1}(A) ) P(Y^{-1}(B))
Soit maintenant U=f(X) et V=g(Y) avec f et g continue ou plus largement mesurable par rapport a \sigma(X) et \sigma(Y).
Soit A' les evenements de \sigma(f(X)) et B' les evenements de \sigma(g(Y))
U^{-1}(A')= (f(X))^{-1}(A')=X^{-1}(f^{-1}(A'))=X^{-1}(A) avec (f^{-1}(A'))=A car comme f est continue, elle est mesurable et donc (f^{-1}(A')) \in \sigma(X)

Pareille pour V=g(Y)
Finalement quelque soit A' et B' appartienent a respectivement \sigma(U) et \sigma(V) on a:
P(U^{-1}(A') \cap V^{-1}(B')) = P(X^{-1}(A) \cap Y^{-1}(B)) = P(X^{-1}(A) ) P(Y^{-1}(B)) = P(U^{-1}(A') ) P(V^{-1}(B'))
et donc \sigma(U) et \sigma(V) sont independantes, par definition U et V le sont donc aussi.


Posted by: wasteland93

Parfait! Merci beaucoup pour la preuve.

wasteland.










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