Mathématiques - Primitives ?

Primitives ?
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Posted by: quaresma

Bonjour à tous,
est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer comment faire pour determiner une primitive d'une fonction car je n'ai pas très bien compris ?

Par exemple en se basant sur cet exemple qui est assez simple (il parait

):

f(x)=2/(x+1)

Puis m'expliquer plus en "profondeur" en calculant des primitives plus difficiles...

Merci pour votre aide

Posted by: Joker62

Le principe c'est de chercher une fonction F telle que quand on la dérive, on tombe sur la fonction en question :)

Le secret ?
Apprendre son cours, avoir une certaine vision dans l'espace, savoir passé des dérivée au fonction et des fonctions au dérivée sans problème, savoir reconnaitre les formes, s'entraîner beaucoup !

Ici la fonction f, est de la forme u'/u(on place le 2 devant pour avoir la forme souhaitée) avec u = x+1
u' = 1
qui s'intégre en ln( |u| )

En grosssss, on s'arrange pour trouver une forme connue ! :)

Posted by: busard_des_roseaux

bjr,

Le thm du calcul intégral, découvert par Leibnitz, relie
le calcul d'aire (quadrature) et la recherche de primitive par la
formule:

$\displaystyle \int_{a}^{x} \, f(t)dt = F(x)-F(a)$

quelques méthodes de calcul de primitives

- l'intégration par parties:

$\int ln(t) dt = t ln(t) - \int \frac{t}{t} dt = t ln(t) -t$

- le changement de variable bijectif :

Il doit appliquer un intervalle sur un autre, être continuement différentiable
(à dérivée continue) ainsi que sa fonction réciproque, propriété
que l'on oublie de vérifier sauf en cas d'ennui

$\displaystyle \int_{0}^{x} \ \sqrt{1-t^2} dt$

on pose t=sin(u)
dt = cos(u) du

$\displaystyle \int_{0}^{x} \ \sqrt{1-t^2} dt = \int_{0}^{\arcsin(x)} \cos ^2 (u) du = \int_{0}^{\arcsin(x)} \frac{1+ \cos (2u)} {2} du=<br /> \frac{\arcsin(x)}{2}+\frac{1}{4} \sin( 2 \arcsin (x) )=<br /> \frac{\arcsin(x)}{2}+\frac{x}{2} \cos(\arcsin(x))$

- autre exemple:
$<br /> \displaystyle \int \frac{1}{e^{2t}+1} dt$

on pose
$u=e^t$
$du = e^t dt$

$\displaystyle \int \frac{1}{e^{2t}+1} dt = \displaystyle \int \frac{e^t}{(e^{2t}+1)e^t} dt= \int \frac{1}{u(u^2+1)} du= \int \, \left( \frac{1}{u} - \frac{u}{u^2+1} \right) du = ln(u) - \frac{1}{2} \ln(u^2+1)=ln(\frac{u}{\sqrt{u^2+1}})$

Posted by: quaresma

OK celle-ci etait un peu simple en effet.

Prenons cet exemple : $f(x)=(6x+3)/(x^2+x+2)^2$

Pouvez-vous me montrer la démarche à suivre pour trouver une primitive de cette fonction ?

MERCI BCP

Posted by: busard_des_roseaux

Citation:

Posté par quaresma

Pouvez-vous me montrer la démarche à suivre pour trouver une primitive de cette fonction ?
MERCI BCP

oui, volontiers.

On remarque que la dérivée de $x \rightarrow x^2+x+2$
est $x \rightarrow 2 x+1$
cad $\frac{1}{3}$ du numérateur

On pose donc
$u = x^2+x+2$
et la primitive devient:

$\frac{1}{3} \int \frac{u'(x)}{u^2(x)}dx = \frac{1}{3} \int \frac {1}{u^2} du = \frac {-1}{3 u} = - \frac{1}{3(x^2+x+1)}$

Là le "changement de variable" n'est pas bijectif et l'on doit plutôt
considérer ceçi comme la primitivation de $\frac{u'}{u^2}$

Posted by: Taupin

Le changement de variables ne doit être bijectif que dans les cas des intégrales généralisées sur un segment quelconque ;)

Posted by: quaresma

Citation:

Posté par Taupin

Le changement de variables ne doit être bijectif que dans les cas des intégrales généralisées sur un segment quelconque ;)

En francais ca donne quoi ?

Posted by: quaresma

Citation:

Posté par busard_des_roseaux

Ya pas une methode plus simple sans passer par une intégrale ?

Posted by: busard_des_roseaux

Citation:

Posté par quaresma

En francais ca donne quoi ?

intervalles quelconques: éventuellement de longueur infinie.

intégrales généralisées:

la fonction n'est pas supposée intégrable (cad de module intégrable)
mais seulement que

$\lim_{x \longrightarrow +\infty} \int_{a}^{x} \, f(t)dt$ existe.

Posted by: busard_des_roseaux

Citation:

Posté par quaresma

Ya pas une methode plus simple sans passer par une intégrale ?

bah si.

Il suffit, au début, de considérer toutes les formules
de dérivation que l'on connait:

$x^n \longrightarrow nx^{n-1}$
$Ln(x) \longrightarrow \frac{1}{x}$
$e^x \longrightarrow e^{x}$
$arctan(x) \longrightarrow \frac{1}{1+x^2}$

etc..

et de les écrire en sens inverse.

Posted by: quaresma

Décidement je ne comprend pas bien...

Et pour celle-ci comment feriez-vous ?

$f(x)=2+ln(x+1)/x+1$

MERCI

D'après le site qui donne les resultats, ca donne ca :

$(Log[1 + x]*(4 + Log[1 + x])/2$

Posted by: busard_des_roseaux

on va essayer d'expliquer

Disons pour simplifier que se donner une fonction f ou une courbe du plan
$C_{f}$ , c'est équivalent.

1er point
f , fonction continue, sur un intervalle I d'intérieur non vide, admet une primitive F .

F est une fonction dérivable sur I et F'=f.

2ème point
On a plein de méthodes d'analyse numérique (AN), de méthodes de calcul qui permettent de mesurer les aires des domaines compris entre la courbe $C_{f}$ , l'axe horizontal et les droites verticales d'équation X=a et X=b.

Avec une approximation aussi précise que l'on veut.

Le théorème fondamental du calcul intégral relie ces deux notions par la formule:

$\displaystyle \int_{a}^{x} \, f(t)dt = F(x)-F(a)$

la fonction $\int_{a}^{x} \, f(t) dt$ est dérivable et sa dérivée vaut f(x). C'est donc une primitive de f.

exemple:

on pose u=ln(t+1)
$u' = \frac{1}{t+1}$

$\displaystyle \int_{0}^{x} \, \frac{ln(t+1)}{t+1} dt = \int_{0}^{ln(x+1)} u du = \frac{ln^2(x+1)}{2}$

Posted by: Nightmare

Bonsoir,

les primitives, c'est du mécanisme. Tu en fais, tu en refais et tu en rerefais. Au bout d'un moment tu te retrouveras devant une fonction à primitiver et là tu te diras "ben ça c'est facile c'est de la forme ... donc on intègre par telle méthode".
Mais il est clair que si tu ne sais pas primitiver x->2/(x+1), ne te précipite pas sur des fonctions du type x->ln(x+1)/(x+1). Ce n'est pas difficile à intégrer certes, mais il faut déjà avoir une certaine aisance avec les primitives, et encore plus avec les dérivées (car certains ne verraient pas au premier coup d'oeil qu'au final c'est de la forme u.u' (d'ailleurs notre ami busard_des_roseaux ne l'a pas vu

) dont une primitive est 1/2 u²)

Edit: Busard je rigole bien sûr, je ne mets pas en doute tes capacités calculatoires, surement plus évoluées que les miennes, tout comme tes connaissances mathématiques.

Posted by: atito

Citation:

Posté par quaresma

Décidement je ne comprend pas bien...

Et pour celle-ci comment feriez-vous ?

$f(x)=2+ln(x+1)/x+1$

MERCI

f(x) = 2 + g(x) * g'(x)

En tout cas comme s'est dit avant il y a plusieurs méthodes donc pratique avec un peu de concentration comme dab ;-)

Posted by: quaresma

Citation:

on va essayer d'expliquer

MERCI

Citation:

F est une fonction dérivable sur I et F'=f.

OK pour ca j'avais compris

Citation:

Le théorème fondamental du calcul intégral relie ces deux notions par la formule:

$\int_{a}^{x} \, f(t)dt = F(x)-F(a)$

la fonction $\int_{a}^{x} \, f(t) dt$ est dérivable et sa dérivée vaut f(x). C'est donc une primitive de f.

Je connais aussi ;)

Citation:

exemple:

une intégration par parties donne

Nous ne faisons pas d'integration par partie.
Seul ceux qui ont pris l'option match sup vont le faire.
Moi je reste au primitive de base et c'est deja super chaud...

En ce qui concerne ma fonction ci-dessus, comment ferais-tu pour trouver la primitive ?

Posted by: busard_des_roseaux

Citation:

Posté par Nightmare

Bonsoir,

les primitives, c'est du mécanisme.

Nightmare t'as tout dit.

Tu garde en mémoire le théorème fondamental et ensuite tu
primitives à tout va.

pour vérifier les calculs, WOLFRAM INTEGRATOR içi

dodo

Posted by: quaresma

Citation:

Posté par atito

f(x) = 2 + g(x) * g'(x)

En tout cas comme s'est dit avant il y a plusieurs méthodes donc pratique avec un peu de concentration comme dab ;-)

Et dans ce cas, que représente g(x) * g'(x) ?

Posted by: atito

Citation:

Posté par quaresma

Et dans ce cas, que représente g(x) * g'(x) ?

C'est quoi la dérivée de (g(x))^2?

Posted by: quaresma

Citation:

Posté par atito

C'est quoi la dérivée de (g(x))^2?

euh...((g(x))^3)/3 ?

Posted by: Nightmare

Oui donc on revient à ce qu'on a dit : Maîtrise d'abord les dérivées avant de t'attaquer aux primitives...

Posted by: ffpower

raté lol.tant que tu ne maitrisera pas bien les derivees,tu ne pourras rien faire avec les primitives(x^3/3 c est la primitive de x².la derivee de x^2,c est 2x,donc la derivee de g(x)²,c est 2g(x)*g'(x) par la formule de derivation d une composee de 2 fonctions)

Posted by: atito

Citation:

Posté par Nightmare

Oui donc on revient à ce qu'on a dit : Maîtrise d'abord les dérivées avant de t'attaquer aux primitives...

oui la dérivé que t'as donné n'est pas la bonne. revois le cours s'il te plait.

Posted by: quaresma

Citation:

Posté par Nightmare

Oui donc on revient à ce qu'on a dit : Maîtrise d'abord les dérivées avant de t'attaquer aux primitives...

J'ai mal lu dsl.
En effet la derivée de (g(x))^2 est 2(g(x))

Du moins je pense.

Posted by: Nightmare

Non plus... décidémment !

Posted by: busard_des_roseaux

Citation:

Posté par quaresma

J'ai mal lu dsl.
En effet la derivée de (g(x))^2 est 2(g(x))

Du moins je pense.

La difficulté est là: tu dois encore travailler les dérivées avant de
commencer les primitives.

Posted by: Nightmare

"Bis repetita placent" disent-ils... Ca plait peut être mais ça ne rentre pas !

Posted by: quaresma

Pourriez-vous juste me donner la reponse SVP lol

Posted by: busard_des_roseaux

Citation:

Posté par quaresma

Pourriez-vous juste me donner la reponse SVP lol

La réponse là

Posted by: quaresma

la derivée de (g(x))^2 n'est pas 2(g(x)) ?

Pourtant la dérivée de x² c'est bien 2x non ?

Posted by: atito

Citation:

Posté par quaresma

la derivée de (g(x))^2 n'est pas 2(g(x)) ?

Pourtant la dérivée de x² c'est bien 2x non ?

Regarde le cours

Posted by: quaresma

Citation:

Posté par atito

Regarde le cours

J'ai regardé mon cours sur les dérivées, et c'est bien 2x...

Posted by: Nightmare

Ce n'est pas parce que la dérivée de x² est 2x que la dérivée de [g(x)]² est 2g(x)
Il me semble que g(x) peut être différent de x non?

La dérivée de [g(x)]² est 2.g'(x).g(x) (niveau 1ère)

Posted by: _-Gaara-_

Salut,

Citation:

Posté par Nightmare

La dérivée de [g(x)]² est 2.g'(x).g(x) (niveau 1ère)

En effet, car dériver des fonctions et des "expressions" ce n'est pas pareil xD

Posted by: quaresma

Ok merci pour votre aide donc reprenons.
Je me suis entrainé, pouvez-vous me dire si les primitives des fonctions ci-dessous que je trouve sont bonnes ?

f(x) = (2x) $(x²+1)^3$
F(x) = $(x^2+1)^4$ /4

f(x) = (4x-6)(x²-3x+1)
F(x) = 2(2x-3)(x²-3x+1)
F(x) = 2 x ((x²-3x+1)²/2)
F(x) = (x²-3x+1)²

Est-ce juste SVP ?
merci encore...

Posted by: quaresma

un pti up...

Posted by: nuage

Salut,
en disant que F est une primitive de f.

si $f(x)\,=\,2x(x^2+1)^3$ alors $F(x)\,=\,\frac14 (x^2+1)^4$ OK
si $f(x)\,=\,(4x-6)(x^2-3x+1)\,=\,2(2x-3)(x^2-3x+1)\,=\,2u'u$ alors $F(x)\,=\,u^2\,=\,(x^2-3x+1)^2$ OK

Mais tes écritures sont très incorrectes. Tu confond $F$ et $f$ .

Essayes de voir où ça se passe.

A+

Posted by: quaresma

je suis de retour

Comment faire pour trouver une primitive de cette fonction ?

f(x) = $2x+5/(x+1)(x+2)$

Merci encore pour votre aide...

Posted by: tito

bonsoir, écrit f sous la forme f(x)= (a/(x+1)) + ( b/(x+2)) ou ici :

a=3 et b= -1. Aprés y a plus qu'a primitiver

(la primitive s'est : F(x) = 3 Ln (|x + 1|) - Ln (|x + 2|))

(au fait tout ça c'est si ta fonction c'est bien f(x) = (2x+5)/((x+1)(x+2)) ?
lol )

Posted by: Nightmare

Citation:

Posté par tito

bonsoir, écrit f sous la forme f(x)= (a/(x+1)) + ( b/(x+2)) ou ici :

a=3 et b= -1. Aprés y a plus qu'a primitiver

(la primitive s'est : F(x) = 3 Ln (|x + 1|) - Ln (|x + 2|))

(au fait tout ça c'est si ta fonction c'est bien f(x) = (2x+5)/((x+1)(x+2)) ?
lol )

Hum pas d'accord, je trouve F(x)=3ln|x+1|-Ln|2x+4|

Posted by: quaresma

Citation:

Posté par tito

Whaou chaud là!
d'où sors-tu le a et le b ? je ne comprend pas...lol