On appelle f cette fonction, On la supposera définie sur ]0 ; +
[1) écrire léquation différentielle dont f est solution
Pour cela jai répondu que f est solution de léquation différentielle f(x)=1/x car la dérivé de f et x ^ - 1 = 1/x
2) Soit a un réel strictement positif. On appelle g la fonction qui à tout réel strictement positif x associe g(x)=f(ax)
a) vérifier que pour tout réel x strictement positif g(x)=f (x)
Soit a un réel strictement positif la fonction g (x) = f (ax) est dérivable sur lintervalle ]0 ;+
[Donc g (x) = f (ax) est dérivable sur lintervalle ]0 ; +
[Dérivons cette fonction : g (x) = a.1/ax = 1/x
Donc f (ax) = f (a)+ f (x) est dérivable sur l'intervalle ]0 ; + [.
Dérivons cette fonction : f (x) = f (a)+ f (x) = 0 + 1/x = 1/x
Les fonction g et f ont donc des dérivées égales. Elles sont donc 2 primitives de le fonction 1/x
b) En déduire que g(x)=f(x)+k
Il existe un réel k tel que pour tout réel strictement positif x, g (x) f (x) = k.
Donc g (x) = f (x) + k
c) Justifier que k=f(a)
Essayons de déterminons ce réel k. Pour cela, calculons les images de 1 par ces deux fonctions.
g(x) = f (a × 1) = f (a)
f(x) = f (a) + f (1) = f (a) + 0 = f (a)
Donc k = 0 et les fonctions g et f sont égales.
On a démontré que g (x) = f (ax) = f (a) + f (x) dans la question a)
Donc f (a) = g (x) f (x)
De plus on a vu que g (x) f (x) = k dans la question b)
On peut donc conclure que f (a) = k
d) Quelle relation 1 peut-on alors écrire entre f(ax), f(x) et f(a) ?
On peut écrire la relation 1 : f (ax) = f (a) + f (x)
e) Utiliser le relation 1 pour exprimer alors f(a ^ n) en fonction de n et f(a)
f) En considérant f ( a ^ n * a ^ -n) vérifier que f(a ^ -n= -n f(a)
Pour les question e) et f) je nai pas réussi a faire car je ne les comprend pas vraiment. Donc si vous pouvez mexpliquer ce serai gentil de votre part.
3) Etude de la fonction f sur ]0 ; +
[a) déterminer le sens de variation de la fonction f
Soit a et b 2 réels strictement positif tel que a 1/b
Donc f (a) > f (b)
Ce qui prouve que la fonction inverse est décroissante sur ]0 ; +
[, donc f est décroissante sur R* Tableau de variation
Autre méthode :
La fonction inverse f : x
1/x est définie et dérivable sur ] - ; 0 [ u ] 0 ; + [Et pour tout réel x
0 , f ( x ) = 1/x ², ce qui est strictement négatif sur IR* .Or f nest pas décroissante sur IR* ; elle lest indépendamment sur ] -
; 0 [ et sur ] 0 ; + [ .Tableau de variation
La double barre en dessous de 0 est là pour indiquer que 0 n'a pas d'image par la fonction inverse.
b) justifier que f(2)>O
f (2) > 0 car f (2) = 5
c) Soit A un réel strictement positif
i)Justifier que : n appartient à N, n > A/f(2)
f(2^ n) > A, puis que pour tout x supérieur à 2 ^n, f(x) > APour tout réel A>0, il existe un réel xo tel que si x >=xo alor f (x) >= A
On a pour f (2) > 0 et pour tout entier naturel n, f ( 2^n) = n f (2)
Soit A un réel positif quelconque et no un entier naturel tel que no>= A/ f (2)
On peut prendre par exemple no = E ( A/f (2)+1. On pose xo = 2^no.
Alors pour tout réel x, si x>=xo alors f (x)>= f (xo )
Alors f (x) >= A
ii) En déduire lim x tend +
f(x)Donc lim x tend +
f(x) = + Cela signifie que f (x) devient aussi grand que lon veut pourvu que x soit assez grand.d) Soit A un réel strictement négatif
i) Justifier que : n appartient N, n > - A/f(2)
f(2^ n) < A, puis que pour tout x inférieur à 2 ^ - n, f(x) < AJai fait une explication analogue par rapport a la question 3 c) mais je ne suis pas sur que ce soit ca quil faut faire
ii) En déduire lim x tend 0+ f(x)
Donc lim x tend 0+ f(x) = +
4) Equation f(x)=1
a) Prouver que léquation (E) admet une unique solution e sur ]1; +
[On a vu lors de la question 3 a) que f est continue et strictement monotone sur ] 1 ; +
[ et lors de la question 2 c) que f (a) = k donc daprès le théorème des valeurs intermédiaires on peut dire que léquation f (x) = 1 1/x = 1, admet au moins une solution e sur ] 1 ; + [Car le réel 1 est compris entre f ( 1.1) et f ( 0.9 ).
b) A laide de la méthode dEuler, en fixant le pas à h = 0.2 encadrer e par deux entier
Pour cette question je ne sais pas comment my prendre car en classe jai appris a le faire en utilisant la formule f ( a+h ) = f (a) + h f (a) avec f (x) = -1/x² et avec f (0), mais le problème ici cest que f (0) na pas dimage.
Mais jai fait f (0.2) = f (1)+ 0.2 f(1) = 1 + 0.2 * (-1) = 0.8
Comme mes résultats étant fausse je nai pas réussi a encadré e avec 2 entiers.
5) Croissance comparée
On pose h(x) = racine carré de (x) f(x)
a) Etudier les variations de la fonction h
Soit h(x) = racine carré de (x) f(x) = racine carré de (x) 1/x = [racine carré de (x)* (x) 1]/ x Et je suis bloquée. Du fait que je narrive pas a trouver h, je ne peux pas faire son tableau de variation.
b) En déduire que pour tout réel x strictement positif , f(x) < racine carré de (x)
[B]6) Représenter graphiquement les fonctions f et racine
Je vous remercie, de me corrigé si jai fait des erreur car je ne suis pas sure que ce que jai fait soit juste ainsi que pour toute aide que vous pouvez mapporter pour cet exercice, qui semble facile mais qui est assez délicat pour ma part à démontrer. Sil vous plait pouvez vous me dire quelle sont les questions dont jai fait juste et celles dont jai fait faux[/B]
