primitive de 1/(cosx)^3

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Posted by: foo9

Bonjour.
Quelle est la primitive de 1/(cosx)^3 ?


Posted by: Ledescat

Bonsoir.
En posant t=sin(x)
dx=dt/cosx

On a:
\large \Bigint \fr{dx}{cos^3(x)}=\Bigint \fr{dt}{cos^4(x)}\\=\Bigint \fr{dt}{(1-t^2)^2}\\=\fr{1}{4}\Bigint ( \fr{1}{t+1}+\fr{1}{(t+1)^2}-\fr{1}{t-1}+\fr{1}{(1-t)^2})dt
Si ma décomposition n'est pas fausse (ce qui n'est pas certain^^)
Maintenant je te laisse la suite , tu auras du ln (c'est pas un scoop ).


Posted by: foo9

Merci beaucoup !
On trouve donc au final que la primitive de 1/(cosx)^3 est
0.25ln((1+sinx)/(1-sinx))+0.5sinx/(cosx)^2
soit aussi
0.5[ln(|tan(x/2+pi/4)|)+sinx/(cosx)^2]
puisque (1+sinx)/(1-sinx)=tan^2(x/2+pi/4)


Posted by: B_J

Salut;
et plus generalement on a :
4$\int \frac{\rm{dx}}{\rm{\cos^n(ax)}}=\frac{\rm{\sin(ax) }}{\rm{a(n-1)\cos^{n-1}(ax)}}+\frac{\rm{n-2}}{\rm{n-1}}\int \frac{\rm{dx}}{\rm{\cos^{n-2}(ax)}}
et
4$\int \frac{\rm{dx}}{\rm{\sin^n(ax)}}=\frac{\rm{-\cos(ax)}}{\rm{a(n-1)\sin^{n-1}(ax)}}+\frac{\rm{n-2}}{\rm{n-1}}\int \frac{\rm{dx}}{\rm{\sin^{n-2}(ax)}}










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