Mathématiques - Pression dans un tokamak

Pression dans un tokamak
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Posted by: Skullkid

Bonsoir et bonne année à tous. Je suis face à un problème de physique et comme à ma sale habitude je bloque sur les premières questions...

On considère un plasma composé d'ions deutérium et d'électrons, confiné dans un tokamak par un champ magnétique $\vec B$ . Chacune des deux espèces est traitée comme un gaz.

On note $n_e$ la densité volumique des électrons, $\rho_e$ leur masse volumique et $\vec {v_e}$ leur vitesse moyenne. $n_D$ , $\rho_D$ et $\vec{v_D}$ correspondent aux mêmes grandeurs associées aux ions deutérium.

On demande tout d'abord la densité locale de courant électrique. Bon là normalement pas de problème, $\vec j=-en_e\vec{v_e}+en_D\vec{v_D}$ . (e charge élémentaire)

Ensuite, on considère que le plasma est localement électriquement neutre en tout point et on note P la pression totale à l'intérieur du plasma et on demande :
1 - Préciser les diverses densités volumiques de force agissant dans le plasma, en déduire l'équation satisfaite par le plasma en régime permanent.
2 - Montrer que les lignes de courant et les lignes de champ magnétique sont isobares.

Mes problèmes sont là, pour le 1, sur un élément de voulme il y a le poids $(\rho_e+\rho_D)\vec g$ et la pression $-\vec{grad}P$ , mais je ne sais pas si je dois prendre en compte la force de Lorentz (qui serait $\vec{j}\wedge\vec B$ ?) puisqu'on me dit que c'est électriquement neutre.

J'aurais plutôt tendance à opter pour ne pas les prendre en compte, et donc l'équation serait celle de statique des fluides $\vec{grad}P=(\rho_e+\rho_D)\vec g$ . Mais ça me pose problème pour la question 2, puisqu'alors je n'ai pas vraiment de lien entre la pression, le champ et le courant.

Bref, je ne comprends pas vraiment ce que je dois tirer du fait que le plasma est électriquement neutre en tout point. Merci à ceux qui pourront m'aider.

Posted by: flaja

Bonsoir.
neutralité électrique : n_e = n_D
donc j peut etre différent de 0
Si e- et D+ circulent en sens inverses : leurs courants s'ajoutent.

Posted by: Skullkid

Merci de ta réponse. Si j'ai bien compris je dois prendre en compte les forces de Lorentz, donc l'équation vérifiée par le plasma est $\vec{grad}P=(\rho_e+\rho_D)\vec g + \vec j\wedge \vec B$ ?

Ensuite, pour montrer que les lignes de champ et de courant sont isobares, je ne vois pas trop comment faire...Je suppose que je dois partir d'une équation et arriver à $\vec{grad}P=\vec 0$ mais comment traduire qu'on longe une ligne de champ ou de courant ?

Si je considère un volume élémentaire de particules qui se déplacent suivant une ligne de champ, ça me donne $\vec j\wedge \vec B=\vec 0$ , mais ça me donne pas $\vec{grad}P=\vec 0$ ...

Posted by: cesar

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Posté par Skullkid

Ensuite, pour montrer que les lignes de champ et de courant sont isobares, .

seulement dans le cas horizontal, ou bien il faut negliger les forces de gravitation.

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Posté par Skullkid

Si je considère un volume élémentaire de particules qui se déplacent suivant une ligne de champ, ça me donne $\vec j\wedge \vec B=\vec 0$ , mais ça me donne pas $\vec{grad}P=\vec 0$ ...

pas besoin d'hypotheses sur le deplacement des particules, l'équation que vous avez trouvé suffie à elle seule : le gradient est perpendiculaire au champ B ou bien à J, hors on sait (???? du moins on est censé savoir), que le gradient est perpendiculaire à la surface ( si f(x) =cte est une surface, grad(f) est un vecteur perpendiculaire à la surface en question), ici b est perpendiculaire au gradient, donc il est tangent à une surface définie par p=cte, idem pour J, et donc les lignes de champ correspondantes sont sur cette surface définie par p = cte... Mais il faut négliger les forces de gravitation ou bien que tout se passe à l'horizontale. C'est le cas dans un anneau de tokamak

Posted by: Dominique Lefebvre

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Posté par Skullkid

Bonsoir et bonne année à tous. Je suis face à un problème de physique et comme à ma sale habitude je bloque sur les premières questions...

On considère un plasma composé d'ions deutérium et d'électrons, confiné dans un tokamak par un champ magnétique http://www.maths-forum.com/images/l...4f20a44241e.gif. Chacune des deux espèces est traitée comme un gaz.

On note http://www.maths-forum.com/images/l...62d79df4709.gif la densité volumique des électrons, http://www.maths-forum.com/images/l...6356fe9b669.gif leur masse volumique et http://www.maths-forum.com/images/l...ddadd6e25a6.gif leur vitesse moyenne. http://www.maths-forum.com/images/l...41690dc8f88.gif, http://www.maths-forum.com/images/l...9ae546bc6ff.gif et http://www.maths-forum.com/images/l...ed378337870.gif correspondent aux mêmes grandeurs associées aux ions deutérium.

On demande tout d'abord la densité locale de courant électrique. Bon là normalement pas de problème, http://www.maths-forum.com/images/l...63e64f0a93f.gif. (e charge élémentaire)

Ensuite, on considère que le plasma est localement électriquement neutre en tout point et on note P la pression totale à l'intérieur du plasma et on demande :
1 - Préciser les diverses densités volumiques de force agissant dans le plasma, en déduire l'équation satisfaite par le plasma en régime permanent.
2 - Montrer que les lignes de courant et les lignes de champ magnétique sont isobares.

Mes problèmes sont là, pour le 1, sur un élément de voulme il y a le poids http://www.maths-forum.com/images/l...aac73e38063.gif et la pression http://www.maths-forum.com/images/l...15b0576a2fa.gif, mais je ne sais pas si je dois prendre en compte la force de Lorentz (qui serait http://www.maths-forum.com/images/l...95edbd39867.gif ?) puisqu'on me dit que c'est électriquement neutre.

J'aurais plutôt tendance à opter pour ne pas les prendre en compte, et donc l'équation serait celle de statique des fluides http://www.maths-forum.com/images/l...2f8d750960a.gif. Mais ça me pose problème pour la question 2, puisqu'alors je n'ai pas vraiment de lien entre la pression, le champ et le courant.

Bref, je ne comprends pas vraiment ce que je dois tirer du fait que le plasma est électriquement neutre en tout point. Merci à ceux qui pourront m'aider.

Dis-moi, c'est le début de la compo de physique de l'X en 2007, option MP :-))

Posted by: Skullkid

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Posté par Dominique Lefebvre

Dis-moi, c'est le début de la compo de physique de l'X en 2007, option MP :-))

Oui, en effet :)

Il n'est pas précisé que le système est horizontal donc je suppose qu'on doit prendre l'initiative de négliger de soi-même les forces de gravitation. J'ignorais (ou j'ai oublié...?) cette propriété du gradient, merci. :)

Posted by: cesar

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Posté par Skullkid

il faut lire avec soin l'enoncé : le diable se cache dans le détail. Etes vous sur qu'il n'y a pas un indice ?

Posted by: Skullkid

Je n'en vois pas, je rate peut-être quelque chose, voici le sujet : http://www.sujets-de-concours.net/s...007/mp/phys.pdf (début de la partie II)

Edit : en négligeant les forces gravitationnelles j'arrive au final à une pression sur l'axe du tokamak de 1,27.10^5 Pa pour un champ de 4T (question II.4.c), ça me paraît assez peu, je m'attendais à trouver un nombre énorme...

Posted by: cesar

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Posté par Skullkid

Je n'en vois pas, je rate peut-être quelque chose, voici le sujet : http://www.sujets-de-concours.net/s...007/mp/phys.pdf (début de la partie II)

au II 1 "pression et densité du plasma", on indique les notations : g ne figure pas dans la liste, ce qui sous entend qu'on en a pas besoin. Mais il me semble licite de justifier cela par une raison physique. La raison étant qu'au niveau atomique la force de gravitation est negligeable comparativement aux autres forces, en particulier electromagnetiques.
je ne connais pas l'ordre de grandeur des pressions dans un tokamac, desolé...mais le resultat trouvé est bien loin de la pression de fusion...

Posted by: Skullkid

En fait c'est peut-être la bonne valeur, avec elle je trouve ensuite une densité d'ions de $3,97.10^{19}m^{-3}$ , ce qui est en accord avec la valeur indiquée sur Wikipedia. Merci pour votre aide, je relancerai le fil quand je bloquerai à nouveau sur ce problème, ce qui ne risque pas de tarder...

Posted by: Dominique Lefebvre

Citation:

Posté par Skullkid

Je n'en vois pas, je rate peut-être quelque chose, voici le sujet : http://www.sujets-de-concours.net/s...007/mp/phys.pdf (début de la partie II)

Edit : en négligeant les forces gravitationnelles j'arrive au final à une pression sur l'axe du tokamak de 1,27.10^5 Pa pour un champ de 4T (question II.4.c), ça me paraît assez peu, je m'attendais à trouver un nombre énorme...

Bonjour,

On peut négliger l'interaction gravitationnelle devant l'interaction électromagnétique, quelque soit l'axe du tokamak. Un simple calcul d'ordre de grandeur le montre...

Le plasma est en équilibre mécanique sous l'action de deux forces (si l'on néglige la gravitation):
la pression de densité volumique http://www.maths-forum.com/images/l...0cfa91a98ae.gif
la force de champ de densité volumique http://www.maths-forum.com/images/l...3b9ddd3fe9a.gif

En exprimant j d'après l'équation de Maxwell-Ampère, on finalement:
http://www.maths-forum.com/images/l...ad2a41103f8.gif

Si tu bidouilles cette équation, en considérant la symétrie de révolution du système, tu obtiens l'équation différentielle:
dp/dr = -1/mu0*(d/dr(B²/2) + B²/r).

En intégrant sur le diamètre du plasma, en considérant que la pression à la frontière palsma/vide est nulle (le plasma n'est pas censé toucher la paroi), tu obtiens finalement l'expression:
p(r) = (1/4)*(mu0I²/pi²R²)(1 -r²/R²) avec I = j*pi*R² intensité totale traversant le plasma.

(je tiens les détails du calcul à ta dispo.. J'en ai marre de faire du Latex!)

Posted by: Skullkid

J'avais procédé autrement (sans passer par Mawxell-Ampère, comme j est donné dans l'énoncé j'ai juste projeté l'équation sur les 3 axes) mais j'arrive au même résultat $3$ P(\rho)=\frac{\mu_0j_z^2}4(a^2-\rho^2)$ :)

C'est après pour la calculer sur le centre, l'énoncé dit que la composante additionnelle du champ vaut 0,4 T pour $\rho =a$ , ie $\frac{\mu_0 j_z a}2=0,4\ T$ . Donc $P(0)=\frac{0,4^2}{\mu_0}=1,27.10^5\ Pa$ . La valeur me semblait étrangement faible, mais puisqu'apparemment c'est bon...

Merci beaucoup en tout cas :)

Posted by: Dominique Lefebvre

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Posté par Skullkid

J'avais procédé autrement (sans passer par Mawxell-Ampère, comme j est donné dans l'énoncé j'ai juste projeté l'équation sur les 3 axes) mais j'arrive au même résultat http://www.maths-forum.com/images/l...1e9bc5cfacb.gif :)

C'est après pour la calculer sur le centre, l'énoncé dit que la composante additionnelle du champ vaut 0,4 T pour http://www.maths-forum.com/images/l...6371dac4b28.gif, ie http://www.maths-forum.com/images/l...3da82b60c0f.gif. Donc http://www.maths-forum.com/images/l...32599cda4fc.gif. La valeur me semblait étrangement faible, mais puisqu'apparemment c'est bon...

Merci beaucoup en tout cas :)

La valeur de pression n'est pas étrange dans le cas statique. En fait, tu verras dans la suite son évolution avec le confinement...

Posted by: Dominique Lefebvre

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Posté par cesar

je ne connais pas l'ordre de grandeur des pressions dans un tokamac, desolé...mais le resultat trouvé est bien loin de la pression de fusion...

Attention à ne pas confondre le chauffage du plasma par confinement inertiel, qui se pratique à l'aide de laser (comme sur Méga Joule) et où la pression sur la cible est très élevée avec le chauffage du palsam par onde électromagnétique que l'on pratique dans le tokamak.
En fait, la pression initiale du plasma est relativement faible mais en régime dynamique (chauffage électromagnétique du plasma), elle augmente sous l'effet de la pression magnétique générée par l'OEM de chauffage (c'est le confinement).
Le critère de Lawson est atteint dans un tokamak par l'élévation de température obtenue par l'action conjointe d'un courant intense circulant dans le plasma et du champ EM de confinement. D'ailleurs, le problème posé aborde ces deux sujets.
Pour info, la température obtenue dans le plasma confiné magnétiquement et comprimé par onde EOM est de l'ordre de 10^8 K...

Posted by: Skullkid

J'ai du mal avec la question IV.3.b, je trouve que $\vec U_\perp=\frac{2r}{\alpha R}K_\parallel\vec{e_r}+\alpha^3K_\perp\vec{e_z}$ (sauf erreurs probables) mais je ne comprends pas en quoi ça permet de conclure que les particules ne peuvent pas rester confinées indéfiniment.

Est-ce que l'une des composantes de l'énergie cinétique va diminuer au profit de l'autre jusqu'à faire sortir les particules du tore ?

Posted by: Dominique Lefebvre

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Posté par Skullkid

J'ai du mal avec la question IV.3.b, je trouve que http://www.maths-forum.com/images/l...8b178ab1f45.gif (sauf erreurs probables) mais je ne comprends pas en quoi ça permet de conclure que les particules ne peuvent pas rester confinées indéfiniment.

Est-ce que l'une des composantes de l'énergie cinétique va diminuer au profit de l'autre jusqu'à faire sortir les particules du tore ?

Bonjour,
Ce n'est effectivement pas exact (il n'y a pas de composante en er, d'après mes calculs). Que trouves-tu comme expression du champ B en IV.3.a ? L'erreur vient peut-être de là....

Posted by: Skullkid

$\vec B=\frac{\mu_0 N I}{2\pi r}\vec{e_\theta}$ à l'intérieur du tore et nul à l'extérieur.

J'ai refait le calcul et je tombe en effet sur $\vec U_{\perp}$ dirigé selon $\vec{e_z}$ . Mais ça me semble bizarre, la particule n'est-elle pas censée décrire une hélice (ou une trajectoire semblable) autour du champ ?

Si $\vec U_{\perp}$ est bien dirigé selon $\vec{e_z}$ , la raison de la limitation en temps du confinement serait que les particules sont rapidement éjectées du tore ?

Posted by: Dominique Lefebvre

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Posté par Skullkid

http://www.maths-forum.com/images/l...1cd407b2838.gif à l'intérieur du tore et nul à l'extérieur.

J'ai refait le calcul et je tombe en effet sur http://www.maths-forum.com/images/l...3b7029f1227.gif dirigé selon http://www.maths-forum.com/images/l...036aadaa294.gif. Mais ça me semble bizarre, la particule n'est-elle pas censée décrire une hélice (ou une trajectoire semblable) autour du champ ?

Si http://www.maths-forum.com/images/l...3b7029f1227.gif est bien dirigé selon http://www.maths-forum.com/images/l...036aadaa294.gif, la raison de la limitation en temps du confinement serait que les particules sont rapidement éjectées du tore ?

Oui c'est exact.
La particule décrit bien une hélice autour du champ circulaire et donc elle a tendance à se faire la malle...
Tu peux calculer la vitesse de la particule en te servant des données de IV.1.c. cela fait environ 2,5*10^3 m.s-1.
Vu les dimensions du tokamak (de l'ordre du mètre), tu t'aperçois que le temps de confinement n'est pas compatible avec le critère de Lawson, qu'on a calculé en II.4.b (2,51 s).

Posted by: Skullkid

Ok, merci bien :)

Posted by: Dominique Lefebvre

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Posté par Skullkid

Ok, merci bien :)

Bonne chance pour la suite! Je l'ai fini :-))

Posted by: Skullkid

J'arrête là pour le moment, j'ai rendu le devoir ce matin à mon prof. Je pense que je le reprendrai quand il nous aura donné un corrigé. Y a un certain nombre de questions que j'ai sautées à vrai dire, notamment la fin de la partie III avec les probas. Si je trouve du temps pour m'y repencher avant, je te fais signe dès que je bloque :)

Enfin au moins je sais que j'aurai 2 à l'X en physique, ça fixe les idées

Posted by: Dominique Lefebvre

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Posté par Skullkid

J'arrête là pour le moment, j'ai rendu le devoir ce matin à mon prof. Je pense que je le reprendrai quand il nous aura donné un corrigé. Y a un certain nombre de questions que j'ai sautées à vrai dire, notamment la fin de la partie III avec les probas. Si je trouve du temps pour m'y repencher avant, je te fais signe dès que je bloque :)

Enfin au moins je sais que j'aurai 2 à l'X en physique, ça fixe les idées

Je me fais le sujet de physique du concours tous les ans , comme on fait le Paris-Versailles ou le marathon : c'est bon pour la forme !