Prépa PCSI : Suite

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Posted by: petit_pimousse

Bonjours.
J'ai un problème pour résoudre 1 question de mon DM.Quelqu'un peut il m'aider ?

Soit les 3 suites : U_n_+_1 = 2 U_n + 4W_n
V_n_+_1 = 3U_n - 4V_n +12W_n
W_n_+_1 = U_n - 2V_n + 5W_n

et U_0 = 1 et V_0= W_0 = 0
Il faut que je détermine U_n V_n et W_n en fonction de n
Je me creuse la tête mais il me n'arrive pas a faire apparaitre que en fonction de n...
Quelqu'un peut m'aider ?
merci


Posted by: ShinobiNoMono

Bonsoir,
tout d'abord, je pense, qu'il vaut mieux regarder quelques valeurs de ces trois suites, par exemple jusqu'à n=4 et tu pourras déjà conjecturer les expressions de ces suites, que tu n'auras plus qu'à prouver par la suite :)

Et puis après faire quelques combinaisons linéaires des différentes expressions me semble être une bonne piste de recherche, d'ailleurs je ne vois pas trop quoi faire sinon.

Bref, il est tard, et je raconte peut-être des bétises, je vais bientôt aller me reposer ...


Posted by: ShinobiNoMono

Bon voilà ce que j'ai trouvé :

déjà par combinaisons linéaires,
Un+1=2Vn+1-4Wn+1 (1)
d'où tu en déduis que Un+1=4(Vn-Wn) (2)

Ce qui va te permettre de prouver ce que tu avais déjà conjecturé, i.e. que
Pour tout n > 0, Wn=1
(Ce qui se fait par récurrence, en utilisant la relation qui donne Wn+1 et la (1)).

Tu sais que Wn=1, donc tu en déduis que Vn+1=2Vn grâce à (1) et (2).
Donc comme V1=3, tu as Vn=3*2^{(n-1)} (Pour n > 0)

Et pour finir, on obtient Un avec (1) ou (2)
i.e. Un=3*2^{(n)}-4 (Pour n > 0)

Voilà, j'espère ne pas avoir fais trop d'erreurs.
Il y avait peut-être plus simple, dans ce cas ce serait bien de faire part de la correction.

(Ce coup ci je vais vraiment me coucher)


Posted by: redwolf

Sinon, tu peux toujours écrire ça sous forme matricielle :

\displaystyle\left(\begin{array}{c}<br /> U_{n+1}\\<br /> V_{n+1}\\<br /> W_{n+1}<br /> \end{array}\right)=M\left(<br /> \begin{array}{c}<br /> U_n\\<br /> V_n\\<br /> W_n<br /> \end{array}\right)

Avec \displaystyle M=\left(<br /> \begin{array}{ccc}<br /> 2 &amp; 0 &amp; 4\\<br /> 3 &amp; -4 &amp; 12\\<br /> 1 &amp; -2 &amp; 5<br /> \end{array}\right)

Cette matrice est diagonalisable (ses valeurs propres sont 0, 1 et 2). Tu choisis ton algorithme préféré pour calculer une matrice P telle que

M=P\left(\begin{array}{ccc} 0 &amp; 0 &amp; 0\\ 0 &amp; 1 &amp; 0\\ 0 &amp; 0 &amp; 2 \end{array}\right)P^{-1}

(cette étape correspond aux combinaisons linéaires du post de Shinobi, mais le traitement est plus systématique).

Et tu conclus en écrivant que

\displaystyle\left(\begin{array}{c}<br /> U_{n}\\<br /> V_{n}\\<br /> W_{n}<br /> \end{array}\right)=P\left(\begin{array}{ccc} 0 &amp; 0 &amp; 0\\ 0 &amp; 1 &amp; 0\\ 0 &amp; 0 &amp; 2^n \end{array}\right)P^{-1}\left(\begin{array}{c} 1\\0\\0\end{array}\right)


Posted by: petit_pimousse1

oui alors merci pour tout !
redwolf Je n'est pas fait les matrice donc je vais m'en tenir à la réponse de
ShinobiNoMono.
Merci encore a tout le monde


Posted by: ShinobiNoMono

Moi non plus je n'ai pas encore fait les matrices, faut dire qu'on est légèrement à la bourre ...


Posted by: Alpha

En fait, ça dépend de l'ordre dans lequel vous avez traité les chapitres, nous, l'an dernier, on avait fait ça à la rentrée de Janvier, mais il me semble qu'un ami à LLG n'avait fait ça qu'en Février.

A+










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