Préhistoire et maths (bis)..

[guillaume pz]

bonjour à tous,
je vous remets l'intitulé de mon problème, soulevée il y a un peu plus d'une semaine désormais. Il n'est plus possible d'ouvrir l'ancienne page, alors je vous le représente tel quel, et espère que que les personnes qui étaient motivées (je pense en particulier à Galt..) ne se dsont pas découragées..
je vos remercie et attends de vos nouvelleqs avec impatience!

Pour la mise en contexte, je suis étudiant en préhistoire, travaille sur les cailloux, et aurais besoin de calculs de probabilité.

Voici le problème:
nous considérons un volume (un bloc de silex...) fragmenté en 40 morceaux (ou éclats) différents. L'opération consiste dès lors à remonter les éclats entre eux, sorte de puzzle en 3D. Quelle est la probabilité pour que deux éclats remontent entre eux (c'est à dire partagent une même surface de contact) lorsque l'on tire deux éclats au hasard? puis trois?etc.. La question qui m'intéresse est de savoir à partir de combien de tirages pouvons-nous être sûr que deux morceaux remontent ("recollent") forcément entre eux? puis, sans remise en jeu, à partir de combien de tirages pouvons nous être sûr qu'un troisième morceau remonte sur les deux précédents, ou que deux autres soient remontés indépendamment?

Pour un premier calcul, considérons que tous les éclats partagent entre eux, une moyenne de 7 surfaces de contact.

Pour un second calcul, considérons un cas d'étude concret (un bloc fragmenté en 40 éclats), avec les combinaisons suivantes (attention c'est un peu long... je tiens à disposition le tableau récapitulatif pour qui le souhaite):
l'éclat n°1 remonte avec les éclats n°2 et 8
l'éclat n°2 remonte avec les éclats n°1, 3, 7 et 8
le n°3 avec le 2, 4, 7, 9, 10, 11
le n°4 avec le 3, 5, 7
le n°5 avec le 4, 6, 8
le n°6 avec le 5, 8 ,15
le n°7 avec le 2, 3, 4, 8, 9, 11, 12
le n°8 avec le 1, 2, 5, 6, 7, 9, 13, 15
le n°9 avec le 3, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 16
le n°10 avec le 3, 9, 11, 14
le n°11 avec le 3, 7, 9, 10, 12, 14, 17
le n°12 avec le 7, 9, 11, 13, 14, 17
le n°13 avec le 8, 9, 12, 14, 15, 16, 17
le n°14 avec 10, 11, 12, 13, 17, 18, 22, 28
le n°15 avec le 6, 8, 13, 16, 17, 19, 20, 21
le n°16 avec le 5, 9, 13, 15, 18, 21, 22, 27
le n°17 avec le 11, 12, 13, 14, 15, 18, 20, 21, 23, 25
le n°18 avec le 14, 16, 17, 21, 22, 25, 28, 32, 34
le n°19 avec le 15, 21
le n°20 avec le 15, 17, 21
le n°21 avec le 15, 16, 17, 18, 19, 20, 22, 23, 24, 25, 25, 27
le n°22 avec le 14, 16, 18, 21, 25, 27, 28,
le n°23 avec le 17, 21, 24, 26
le n°24 avec le 21, 23, 25
le n°25 avec le 17, 18, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 29
le n°26 avec le 21, 25, 27, 28, 29
le n°27 avec le 16, 21, 22, 25, 26, 28, 29, 30
le n°28 avec le 14, 18, 22, 26, 27, 29, 31, 32, 33
le n°29 avec le 25, 26, 27, 28, 30, 31, 32, 36, 37, 40
le n°30 avec le 27, 29, 31, 36
le n°31 avec le 28, 29, 30, 32, 33
le n°32 avec le 18, 24, 18, 29, 31, 33, 34
le n°33 avec le 28, 31, 32, 34, 37, 38
le n°34 avec le 18, 32, 33, 38
le n°35 avec le 36, 37
le n°36 avec le 29, 30, 35, 37, 40
le n°37 avec le 29, 33, 35, 36, 38, 39, 40
le n°38 avec le 33, 34, 37, 39, 40
le n°39 avec le 37, 38, 40
le n°40 avec le 29, 32, 36, 37, 38, 39

Cela donne au total:
3 éclats ne partagent que 2 surfaces de contact ;
5 éclats en partagent 3;
5 éclats en partagent 4;
4 éclats en partagent 5;
5 éclats en partagent 6;
5 éclats en partagent 7;
8 éclats en partagent 8;
2 éclats en partagent 9;
2 éclats en partagent 10;
1 éclat en partage 12

voilà, je suppose qu'il doit manquer quelques infos alors je reste à votre dispo!
bon courage et merci beaucoup!

(le but de cet exo est de pouvoir estimer, en y associant d'autres critères, le Nombre Minimum de blocs taillés retrouvé ds un ensemble archéologique. Ce calcul est notamment pertinent pour les ensembles lithiques de petits effectifs, où les seules caractérisations de matières premières ne suffisent pas toujours... )
encore merci!

[Galt]

Bonjour
Ca m'intéresse toujours, j'ai eu quelques idées.
Si on veut avoir une certitude, dans l'exemple où chacun remonte avec 7 autres et qu'il y a en tout 40 morceaux, je pense qu'il faut en prendre 21. Sinon, on pourrait imaginer une situation où on fait 2 groupes de 20, et où, dans chacun des groupes, tous les fragments remonteraient avec 7 de l'autre groupe (situation qui n'est pas très probable dans le cas de silex issus d'un même bloc, je l'admets volontiers). Si on prend 21 morceaux, en revanche, on a 147 faces qui remontent, et les 19 morceaux restant ne fournissent que 133 faces.
Pour des probabilités, il n'est pas évident de former un modèle. Est-il raisonnable de penser que deux morceaux distincts ne peuvent avoir que 3 remontants communs au maximum ? (C'est l'impression que j'ai quand je m'imagine que je suis en train de tailler des silex dans un bloc)
J'y travaille (quand j'ai le temps) , mais ce problème est loin d'être facile (comme c'est souvent le cas quand on travaille sur des situations réelles, les mathématiques deviennent très, très ardues)
A bientôt

[Anonyme]

Bonjour
Ca m'intéresse toujours, j'ai eu quelques idées.
Si on veut avoir une certitude, dans l'exemple où chacun remonte avec 7 autres et qu'il y a en tout 40 morceaux, je pense qu'il faut en prendre 21. Sinon, on pourrait imaginer une situation où on fait 2 groupes de 20, et où, dans chacun des groupes, tous les fragments remonteraient avec 7 de l'autre groupe (situation qui n'est pas très probable dans le cas de silex issus d'un même bloc, je l'admets volontiers). Si on prend 21 morceaux, en revanche, on a 147 faces qui remontent, et les 19 morceaux restant ne fournissent que 133 faces.
Pour des probabilités, il n'est pas évident de former un modèle. Est-il raisonnable de penser que deux morceaux distincts ne peuvent avoir que 3 remontants communs au maximum ? (C'est l'impression que j'ai quand je m'imagine que je suis en train de tailler des silex dans un bloc)
J'y travaille (quand j'ai le temps) , mais ce problème est loin d'être facile (comme c'est souvent le cas quand on travaille sur des situations réelles, les mathématiques deviennent très, très ardues)
A bientôt

bonjour galt,
concernant le dernier point sur les proba, je ne suis pas sûr de bien interpréter ce que tu comprends par "remontant". Je pense qu'il s'agit du nbre d'éclats "en contact" que deux morceaux ont en commun. Si c'est le cas, alors ce nbre maximal est de 4 (dans la liste, exemple des éclats 14 et 17, 17 et 21, et 28/29 qui partagent 4 numéros d'éclats en commun).
Pour l'option 7 surfaces de contact partagées, je crois que je te poserai de nouvelles questions un peu plus tard..
Merci bcp et bon courage
à bientôt
guillaume

[Galt]

Oui, c'est ce que signifie "remonter" pour cette situation.
C'est vrai que je n'avais pas regardé l'exemple, le maximum de faces communes est en effet de 4 dans ce cas.
Ca ne change pas grand chose à la difficulté de trouver un modèle cohérent...

[Galt]

Bonsoir
Dans l'exemple concret donné, on arrive, si on prend les fragments 1, 4, 6, 10, 12, 16, 19, 20, 23, 25, 30, 32, 35, 39, à trouver 14 fragments qui ne rmontent pas entre eux.

[Anonyme]

Bonsoir
Dans l'exemple concret donné, on arrive, si on prend les fragments 1, 4, 6, 10, 12, 16, 19, 20, 23, 25, 30, 32, 35, 39, à trouver 14 fragments qui ne rmontent pas entre eux.

bonjour galt,
alors pr le premier remontage, résultat garanti dès que 15 éclats sont tirés..?

Je me pose de sérieuses questions concernant la validité du premier essai à 7 surfaces de contact en moyenne. Qu'en penses-tu? Est-ce qu'il ne vaudrait pas mieux le traiter par classe (ex du cas concrèt :3 éclats ne partagent que 2 surfaces de contact ; 5 éclats en partagent 3;etc..)? en fait, n'y a-t-il pas que le cas concrèt de valable? (comment calculer des probablités s'il n'y a pas de décompte/d'enchainement au sein de la série? comme c'est le cas pour ces 40 éclats à 7 surfaces en moyenne. Surtout comment estimer le nbre de tirages pr le remontage d'une troisième pièce..)?
merci
guillaume