Sujet:
Parmi tous e srectangles d'aire 100 cm² on se propose de determiner celui
dont le perimetre ( donc le demi perimetre) est minimal.
a/ prouver que si x est une des deux dimensions ( en cm) d'un rectangle
d'aire 100 cm² alors le demi-perimetre en cm est px)= x+ (100/x)
Demonstration : Le calcul de l'aire du rectangle est l*L;
x*L=100cm². L'un des cotés est fonction de l'autre par l'application de
L=100/x. Le calcul du périmetre est 2*(l+L); 2(x+L), le demi preimetre est
donc x+L.
En tenat compte que L=100/x, le demi perimetre est égal à x+(100/x) donc si
x est une des 2 doimensions en cm d'un rectangle d'aire 100cm² alors le demi
perimetre est p(x)=x+(100/x)
b/ dresser le tableau de svaleurs ( pas de soucis)
c/ dans un plan rapporté à une reprer orthonormal (o,i,j) placer le spoints
trouvés au b/ ( pas de soucis)
En déduire le représentation graphique de la fonction p qui à tout nombre
réel x tel que 2<=x<=50 associe p(x).( on reliera le spoints correspondnts
au tableau de la question b/ par une courbe régulière.
souci : il me semble qu'il suffit de faire la courbe et de relier
les points. Mais ai je raison ?
d/ Sur quel ensemble de nombres la fonction p est décroissante ? Croissante?
Pour quelle valeur de x, la fonction admet elle un minimum ?que vaut ce
minimum ?
demonstration ::de [2-10] la fct est decroissante et de ]10 à 50] la
fonction est croissante.
La fonction admet un minimum pour une valeur de x=10. Ce minimum vaut 20.
e/Démontrer que p(x)-20=(x-10)²/x. En déduire que pour tout nombre réel x
tel que 2<=x<=50, p(x)>=20. Quelle est la solution de l'équation p(x)=20 ?
Quelle propriété vient on de démontrer?
démonstartion: Si p(x)=x+(100/x) et que l'on recherche la valeur d
p(x)-20, alors p(x)-20=x+(100/x)-20.
P(x-20)=(x-10)²/x
donc p(x)-20 est bien égal à (x-10)²/x.
2<=x<=50, p(x)>=20 p(x) étant un nombre au carré, ce nombre sera toujurs
positif ou nul donc p(x)-20>=0 alors p(x)>=20.
p(x)=20
x+(100/x)=20 donc (x²+100)/x=20 donc x²-20x+100=0, on reconnait une identité
remarquable ce qui permet d'écrire (x-10)²=0.
Quelle st la propriété que l'on vient de démontrer? JE NE VOIS PAS.
Merci de votre aide et de vos conseils.
Posted by: Jeremy Gibbons
> Sujet:
> Parmi tous e srectangles d'aire 100 cm² on se propose de determiner celui
> dont le perimetre ( donc le demi perimetre) est minimal.
> a/ prouver que si x est une des deux dimensions ( en cm) d'un rectangle
> d'aire 100 cm² alors le demi-perimetre en cm est px)= x+ (100/x)
>
> Demonstration : Le calcul de l'aire du rectangle est l*L;
> x*L=100cm². L'un des cotés est fonction de l'autre par l'application de
> L=100/x. Le calcul du périmetre est 2*(l+L); 2(x+L), le demi preimetre est
> donc x+L.
> En tenat compte que L=100/x, le demi perimetre est égal à x+(100/x) donc
si
> x est une des 2 doimensions en cm d'un rectangle d'aire 100cm² alors le
demi
> perimetre est p(x)=x+(100/x)
Le raisonnement est juste, mais quel bla-bla ! Dites plutôt :
soit x la largeur et L la longeur du rectangle, soit A(x) son aire et P(x)
son périmètre.
on a alors A = x*L = 100. Donc L = 100 / x.
Donc P = 2*p(x) = 2*(x+L) = 2*(x+x/100).
Conclusion : p(x) = x+x/100.
> b/ dresser le tableau de svaleurs ( pas de soucis)
Mais les valeurs de quoi ? Elle est bien curieuse cette question... Un
tableau de variations, pourquoi pas, mais un tableau de valeurs ?
> c/ dans un plan rapporté à une reprer orthonormal (o,i,j) placer le
spoints
> trouvés au b/ ( pas de soucis)
Si vous le dites
> En déduire le représentation graphique de la fonction p qui à tout nombre
> réel x tel que 2<=x<=50 associe p(x).( on reliera le spoints correspondnts
> au tableau de la question b/ par une courbe régulière.
> souci : il me semble qu'il suffit de faire la courbe et de relier
> les points. Mais ai je raison ?
Oui. Mais encore une fois, cette question me semble louche.
> d/ Sur quel ensemble de nombres la fonction p est décroissante ?
Croissante?
> Pour quelle valeur de x, la fonction admet elle un minimum ?que vaut ce
> minimum ?
>
> demonstration ::de [2-10] la fct est decroissante et de ]10 à 50]
la
> fonction est croissante.
!! Ce n'est pas une démonstration ! Soit vous étudiez le signe de la dérivée
(en supposant que vous avez étudié les dérivées), ou alors vous tâchez de
montrer que sur tel segment, si x1 < x2 alors p(x1) > p(x2) donc la fonction
est décroissante, et inversement sur tel autre segment... ou alors, si vous
croyez qu'une lecture graphique suffit à votre prof, alors très bien, mais
n'appelez pas ça une démonstration !
> La fonction admet un minimum pour une valeur de x=10. Ce minimum vaut 20.
Ca d'accord
> e/Démontrer que p(x)-20=(x-10)²/x. En déduire que pour tout nombre réel x
> tel que 2<=x<=50, p(x)>=20. Quelle est la solution de l'équation p(x)=20 ?
> Quelle propriété vient on de démontrer?
>
> démonstartion: Si p(x)=x+(100/x) et que l'on recherche la valeur d
> p(x)-20, alors p(x)-20=x+(100/x)-20.
> P(x-20)=(x-10)²/x
> donc p(x)-20 est bien égal à (x-10)²/x.
Là encore, c'est juste, mais pq tant de discours ? Dites simplement :
On a : p(x) - 20 = x + 100/x -20 = (x^2 + 100 - 20x)/x en réduisant au même
dénominateur. On reconnaît au numérateur le développement de (x-10)^2
Donc p(x)-20=(x-10)^2/100
> 2<=x<=50, p(x)>=20 p(x) étant un nombre au carré, ce nombre sera toujurs
> positif ou nul donc p(x)-20>=0 alors p(x)>=20.
> p(x)=20
Ici : pour x dans [2, 50] on a : p(x) - 20= ((x-10)/10)^2. Les carrés étant
positifs, on a p(x)-20>= 0 donc p(x) >= 20
> x+(100/x)=20 donc (x²+100)/x=20 donc x²-20x+100=0, on reconnait une
identité
> remarquable ce qui permet d'écrire (x-10)²=0.
> Quelle st la propriété que l'on vient de démontrer? JE NE VOIS PAS.
Que vient-on de démontrer ? On a vu que, pour tout x dans l'intervalle [2 ;
50], p(x) est supérieur à 20, qui est donc le demi-périmètre minimal d'un
rectangle d'aire 100. Or, en résolvant p(x) = 20, on a vu que ce minimum est
atteint pour x = 10, et d'après la première question, on saît que si x = 10,
alors L = 100/10 = 10. C'est à dire que le rectangle d'aire 100 ayant le
périmètre minimal n'est autre que le carré de côté 10.