Des décimaux aux irrationnels

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beagle
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Re: Des décimaux aux irrationnels

par beagle » 21 Nov 2016, 15:47

De toutes façons c'est assez stérile, intuition n'est pas démonstration,
et je n'ai jamais dit que j'allais substituer l'un par l'autre.
Il s'agissait de dire lorsqu'on utilise l'infini l'intuition se fait avoir très souvent.jusqu'à là Ben314 est d'accord.

Donc à partir de là quelle intuition permet de comprendre pourquoi et où on va sur des problèmes et quelle intuition peut se substituer pour avoir une cohérence qui continue avec le reste des connaissances.
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.



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Ben314
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Re: Des décimaux aux irrationnels

par Ben314 » 21 Nov 2016, 15:54

beagle a écrit:comme la somme à l'infini d'une série ou d'une suite.
Là, O.K.,
mais il faut bien comprendre que, par définition la "somme à l'infini" d'une série, ben c'est une limite, c'est à dire un "quelque soit epsilon>0, il existe N tel que...."

Sinon, une autre façon de voir les chose :
Si je te dit que moi, au lieu de mettre comme toi une infinité de chiffres après la virgule, ben j'en met un infinité avant la virgule et que je vais dire, parce que j'en ait l'intuition, que ça désigne bien un réel sur lequel je vais faire des calculs (toujours intuitivement), tu en penserais quoi ?
Bref, comment tu explique que, intuitivement parlant, on ne puisse mettre une infinité de chiffres que après la virgule et pas avant ?
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Re: Des décimaux aux irrationnels

par beagle » 21 Nov 2016, 16:20

Ben moi je fais avec l'existant,
les éléments que tu sommes, plutôt que de dire j'attends la fin des opérations, en je les prends
si cela n'existait pas, ben je ne pourrais pas les prendre pour les réunir,
c'est vous qui dites soit 0,99... c'est la somme des ...,
je dis juste contrairement à ce que je percevais chez nodgim , je ne vais pas attendre de faire l'opération,
je prends l'opération faite.
Mais encore une fois je ne démontre rien, je dis juste je ne vaux pas me faire piéger par le
"je suis sur le chemin qui va à l'infini",
sur ce chemin j'ai encore des décimales à poser
ou sur ce chemin j'ai encore des trous dans mon colriage des moitiés de moitié

Donc perso je me place une fois ceci fait, c'est bon le coloriage est fini, c'est bon vous avez additionné toutes vos décimales.Et là je cherche maintenant un trou dans le colriage qui n'existe pas, là je cherche en vain où placer un truc entre les 9 et les 0 du 1,0000...
C'est pas grand chose mais cela renverse le défaitisme du j'y arriverai jamais vu que c'est infini, donc il y aura toujours un trou, un manque de coloriage, un manque de 9 pour se rapprocher du 1...

c'est assez modeste je trouve comme démarche.
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Ben314
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Re: Des décimaux aux irrationnels

par Ben314 » 21 Nov 2016, 16:51

beagle a écrit:Donc perso je me place une fois ceci fait, c'est bon le coloriage est fini, c'est bon vous avez additionné toutes vos décimales.Et là je cherche maintenant un trou dans le colriage qui n'existe pas, là je cherche en vain où placer un truc entre les 9 et les 0 du 1,0000...
Ben oui, mais si tu fait la même chose en considérant
1) Que "pouf" tu as fini de dresser la liste des ensembles mathématiques existant alors tu tombe sur une belle contradiction.
2) Que "pouf" tu as mis une infinité de 9 avant la virgule alors tu tombe sur un truc on ne peut plus louche.
3) Que "pouf", à force de faire des "dents de scie" le long de la diagonale d'un carré tu as atteint exactement la diagonale alors tu obtient que racine(2)=2.

Enfin, bref à coup de "pouf je vais droit au but sans rien regarder", tu peut obtenir tout et n'importe quoi : des trucs contradictoire, des truc sans queue ni tête, des trucs faux et, effectivement, de temps en temps des trucs cohérents et juste...

Sauf que le "léger" problème, c'est comment tu fait pour savoir dans quelle catégorie il se place ton "pouf" ?
Parce que moi, de constater que certains "pouf, je prend tout d'un bloc", ben ça conduit droit dans le mur (i.e. sur une contradiction), ça aurait quand même un peu tendance à refroidir mes ardeurs au "pouf"...

Et si on veut rester dans le plus ou moins comparable (i.e ne pas parler des "plouf" contradictoires et de ceux sans queue ni tête), on peut rester sur le 3) çi dessus : comment tu explique que, si on va "droit au but" en prenant direct une infinité de 9 après la virgule sur un réel, le résultat soit effectivement un réel et qui de surcroits vaut 1 alors que si on va "droit au but" dans les "dents de scie" de la diagonale du carré, on obtient racine(2)=2 ?
Parce que ton histoire de "0.999...=1 parce que j'arrive rien à caser entre les deux", ben ça s'applique tout aussi bien aux "dents de scie" où on a fit "pouf je passe à l'infini", non ?
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Re: Des décimaux aux irrationnels

par beagle » 21 Nov 2016, 17:01

On va arréter là car ce que tu fais en mieux , en souhaitable, et sur lequel je suis pas en compétition,
c'est d'aller pouf chercher la fin de ton addition à l'infini, pouf mathématique mais pouf tout de même j'ai 1.

l'intuition ici n'utilise que ce qui est autorisé, tu t'autorises à additionner toutes les décimales.Ben ok alors je les prends.Tu ne t'autorises pas à mettre les chiffres avant la virgule, ben je ne le fais pas et je ne sais ce que cela fait.
Puisque ton pouf final a additionné toutes les décimales et que c'est ce que tu vises à faire ,

je prends les éléments que tu additionnes et rien d'autres, sauf que je ne fais pas l'addition qui va à 1,
mais je prends uniquement ce que tu utilises (enfin il ya d'autres expressions, mais une est celle-là somme à l'infini des décimales de 9, non?)C'est curieux de me demander si les décimales de 9 existent alors que c'est toi qui en fait la somme, tu ferais la somme de trucs dont t'as pas vérifié l'existence?
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Re: Des décimaux aux irrationnels

par Ben314 » 21 Nov 2016, 17:06

Bis et répéta : si ce que tu appelle "somme à l'infini", c'est ça : alors, par définition, c'est égal à avec (évidement) un symbole "limite" dans la définition.
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Re: Des décimaux aux irrationnels

par beagle » 21 Nov 2016, 17:16

{\displaystyle 0.999\ldots =9({\textstyle {\frac {1}{10}}})+9({\textstyle {\frac {1}{10}}})^{2}+9({\textstyle {\frac {1}{10}}})^{3}+\cdots ={\frac {9({\textstyle {\frac {1}{10}}})}{1-{\textstyle {\frac {1}{10}}}}}=1.\,}

héhé , voilà qui sera plus clair!

bon peut importe ce qui est sommé , ce qui est limite des sommes, y des additions de truc là-dedans

une autre addition est:
Perhaps the most common development of decimal expansions is to define them as sums of infinite series

enfin bref, ça n'a pas d'importance,
tant pis si la cohérence ne convient qu'à mon système de ma tète.
Le jour où cela ne conviendra pas je changerai si j'y arrives.

déjà perso depuis toutes ces années sur maths forum , alors que mon niveau en maths est faible, j'ai une perception intuition sur des erreurs que je faisais en somme d'éléments infinis sur les probas.A l'époque tu m'avais renvoyé sur Lebesgue.et bien sur je suis incapable de rien démontrer ou si peu, mais j'ai des choses qui tiennent la route intuitivement sur certains trucs...Et les différents infinis aussi.car l'élève qui parle de machin truc à l'infini, il parle duquel?
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Re: Des décimaux aux irrationnels

par beagle » 21 Nov 2016, 17:44

le copié-collé c'était
0,999... = 9(1/10) + 9 (1/10)² + 9(1/10)^3 + ...

voilà , alors peu importe le calcul qu'ils font derrière
me demander si je suis autorisé à dire qu'on a dans 0,999... toutes les décimales de 9
alros oui????
pourquoi ètre remotné si loin??????
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Re: Des décimaux aux irrationnels

par beagle » 21 Nov 2016, 18:43

j'ai relu le truc de la diagonale et j'ai pas trop le temps de voir quelle approche m'avait "rassuré" à l'époque il y a quelques années.

Mais ce qui est drole c'est cette explication là:
"J'ai trouvé une autre explication dans Albert Jacquard, L'équation du nénuphar : il invoque aussi Cantor pour indiquer que le nombre de tournants de la courbe violette tend vers l'infini des nombres entiers (aleph 0), alors que la diagonale représente l'infini des nombres réels (aleph 1) : ces deux infinis sont différents, donc « 2 n'est pas égal à √2 »."

Ce qui est drole c'est que c'est ce que j'avais en tète sur l'erreur d'attribuer une proba à des points d'un segment ou autre , d'en faire la somme des probas et dire cela fait 1.Si tel avait été le cas alors une somme infini de termes d'addition de probas: premier terme deuxième terme troisième terme, cette somme infini aurait permis une bijection de IN dans IR.Deux infinis différents ...
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Re: Des décimaux aux irrationnels

par beagle » 21 Nov 2016, 21:44

Pour reprendre l'exemple de la diagonale, l'intuition se laisse prendre à quoi?
L'intuition dit que pour descendre dans un carré du point haut gauche au point bas droite,
par une succession de déplacements verticaux et horizontaux, on ne peut y arriver que somme des horizontaux = somme des verticaux = le coté du carré.
C'est idem à ce que l'on a vu récemment pour les échecs, la règle de promotion roi et pion est la règle du carré qs.
Si le déplacement est unidirectionnel le chemin sera toujours identique et égal à deux fois coté du carré.
bref on ne voit rien bouger en longueur lorsqu'on diminue les longueurs de déplacements.rien ne bouge.
tant qu'il existera un dépalcement horizontal et un vertical il y aura angle droit, et rien ne change.
donc on ne voit pas ce qui converge
et du jours où les points seraient sur la diagonale on aura un super triangle rectangle avec trois points alignés????il n' y aucune évolution possible vers cela.
Bref l'intuition est-elle bernée dans ce paradoxe?
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Re: Des décimaux aux irrationnels

par Ben314 » 22 Nov 2016, 19:17

beagle a écrit:....donc on ne voit pas ce qui converge.
Justement, vu que tu ne veut pas utiliser de définitions "carrées carrées" (i.e avec des "pour tout epsilon...) de la notion de "converge", j'aimerais comprendre ce qui te fait dire que, dans le cas du 0,9999.... ça "converge", mais que dans le cas de la diagonale, ça ne "converge pas".
Et si possible, j'aimerais bien que l'argument employé ne soit pas du type de celui que tu emploi çi dessus, qui, au fond, consiste à dire que, dans le cas de la diagonale, si on considère que "ça converge" alors on obtient une suite constante (égale à 2) qui "converge" vers racine(2) et que c'est absurde.
Bref, j'aimerais un argument autre que :
Si le résultat obtenu est absurde alors ça veut dire que ça "converge pas" et si le résultat n'est pas absurde alors "ça converge"
Parce que, personnellement, j'aurais quand même tendance à considérer qu'un truc qui n'est pas absurde, ça prouve pas franchement qu'il est vrai. C'est un premier pas, certes, mais c'est pas franchement suffisant, non ?
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Re: Des décimaux aux irrationnels

par beagle » 22 Nov 2016, 21:53

Pour commencer l'intuition n'est pas démonstration, le manque de rigueur n'est pas voulu.
Bien sur qu'il est préférable d'avoir des connaissances plutot que des ressentis.

Tu m'obliges à parler de convergence alors que je n'en connais pas la définition.
Donc j'imagine que c'est aller vers.
Lorsque je colorie mes moitiés de moitié puis moitiés restantes, je vois que progressivement cela se remplit,
je ne vois pas une zone qui ne pourrait pas ètre colorié un jour.Pour ètre franc j'ai juste une incompréhension du final final, c'est à dire on va vers le dernier point par exemple le coin du bas à droite, tout se ressere vers lui.Mais lui il n'est pas colorié au sens qu'il n'est pas moitié d'une surface.Maintenant cela n'a probablement aucun sens de colorier un point qui est de dimension zéro.ça doit pas faire cher de peinture.Mais bref, plus j'avance dans le coloriage plus on se dirige vers tout le carré donc j'imagine que l'on converge vers le 1.

S'agissant des 0,999...
plus je mets bout à bout les décimales et plus je comble les endroits possibles où je pourrais intercaler autre chose, l'écart vers 1 se réduit de plus en plus , cela converge vers 1, cela converge vers rien entre 0,999... et 1

S'agissant de la diagonale.
Plus je reduits la taille des triangles rectangles plus la surface entre les deux courbes se rétrécit, plus les courbes semblent se rapprocher.Il ya une convergence, oui mais des surfaces qui converge vers 0 probablement.
Oui sauf que l'on ne parle pas de cela on parle de la longueur de la courbe.Or et ceci tant qu'il existe des triangles rectangles, peu nombreux mais grands ou nombreux et petits, c'est IDEM, cela ne bouge pas de un seul iota.La longueur de la courbe escalier est CONSTANTE , elle sera toujours de 2.Elle aura toujours une somme horizontale de 1 et une somme verticale de 1.Là ben ça converge pas vraiment.
Jusqu'à la fin finale, jusqu'au moment où il n'y a plus de triangle rectangle, comme ils rétrécissent, la fin se termine quand le triangle n'est plus triangle mais les 3 points j'imagine deviennent confondus et ils sont confondus sur la droite diagonale.Oui sauf qu'à ce moment précis ils ne respectent pas l'énoncé, un point n'est pas un triangle.En résumé l'intuition est génée car tout le temps où il y a un escalier rien ne bouge, et lorsque finalement ce n'est plus un escalier alors là brutalement on est sur la diagonale.sauf que sur la diago ce n'est pas l'énoncé ...Voilà c'est quoi la convergence dans le problème de la diagonale.la surface qui se réduit vers le zéro, ben ce n'est pas cela qu'il est demandé d'observer ou de conclure.
Bref j'ai le sentiment d'une arnaque on me montre une surface qui se réduit jusqu'à zéro, et on me demande une coclusion de longueur?????
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Re: Des décimaux aux irrationnels

par Ben314 » 22 Nov 2016, 23:11

Là, on va dire que c'est "pas mal plus convaincant", mais a mon avis, ça vient principalement du fait que tu t'approche de plus en plus de la définition standard de la notion de limite :
Lorsque tu écrit que "l'écart vers 1 se réduit de plus en plus", tu est tout de même pas loin du "aussi petit que soit un nombre (>0) donné d'avance, à partir d'un certain rang, l'écart est inférieur à ce nombre" qui est la définition "carré carré" de la notion de limite.

Et concernant la diagonale, c'est, à mon sens très exactement "le bon" argument.
C'est à dire qu'en un certain sens, les "dents de scie" convergent effectivement vers la diagonale, mais que ce "sens" là ne permet pas d'en conclure que la longueur des dents de scie convergent vars la longueur de la diagonale.
Et, à mon avis, ça correspond bien (et de nouveau) à comprendre que pour faire quelque chose avec cette notion de "convergence", il faut lui donner un sens précis : en un certain sens, la dent de scie tend bien vers la diagonale, mais avec un autre sens (en terme de longueurs), là, ça ne converge plus.
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nodgim
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Re: Des décimaux aux irrationnels

par nodgim » 23 Nov 2016, 10:16

1 = 0,999...
car la différence 0,0...1 tend vers 0 quand le nombre de décimales de 0,999 tend vers l'infini.
soit 1/a cette différence qui tend vers 0
0,999...= 1 - 1/a
(1-1/a) ^(a) = 1/e. Alors que 1^a = 1

il faut discuter cette différence.
Modifié en dernier par nodgim le 24 Nov 2016, 12:01, modifié 4 fois.

Doraki
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Re: Des décimaux aux irrationnels

par Doraki » 23 Nov 2016, 21:10

je vois pas bien le rapport avec le reste ??

Pseuda
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Re: Des décimaux aux irrationnels

par Pseuda » 24 Nov 2016, 00:17

Bonsoir,

Cela me fait penser au demi-cercle qu'on partage en 2 demi-cercles, et ces 2 demi-cercles en chacun 2 demi-cercles, et cela indéfiniment... On aboutit (dans une conclusion trop hâtive) à : :

http://therese.eveilleau.pagesperso-ora ... cercle.htm

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Re: Des décimaux aux irrationnels

par nodgim » 24 Nov 2016, 10:00

nodgim a écrit:1 = 0,999...
car la différence 0,0...1 tend vers 0 quand le nombre de décimales de 0,999 tend vers l'infini.
soit 1/a cette différence qui tend vers 0
0,999...= 1 - 1/a
(1-1/a) ^(a) = 1/e. Alors que 1^a = 1

il faut discuter cette différence.


Une égalité parfaite entre 2 nombres doit forcément se retrouver lorsque ces nombres sont élevés à une puissance quelconque. Or, ici il n'en est rien.
Où est l'erreur ?
Modifié en dernier par nodgim le 24 Nov 2016, 12:01, modifié 1 fois.

Doraki
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Re: Des décimaux aux irrationnels

par Doraki » 24 Nov 2016, 10:13

De quels nombres tu parles ? Ton a il vaut combien ? 5 ?

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Re: Des décimaux aux irrationnels

par beagle » 24 Nov 2016, 11:24

D'abord je remercie Ben314 pour sa patience à me faire toucher du doigt ce que mon intuition manipule et l'expression mathématique qui est derrière et sur laquelle lui se repose de façon rigoureuse.

Mais je vais revenir sur le moment d'incompréhension de ce que je voulais faire passer comme message lorsque j'ai dit on se place à l'arrivée.L'idée de dire le fameux "plouf" de Ben314 c'est de dire je ne veux pas me situer au mileu de l'infini, dans un processus à faire , à finir.
car cela essayait de répondre à nodgim qui se place en permanence en plein milieu et nous dit cela n'est jamais fini,
bref au lieu de voir le trou qui se rebouche mais le trou qui est permanent tant qu'on n' a pas fini l'opération infini, ben il s'agit de se placer à la fin.Car oui je sais que la flèche est arrivée.Oui 0,999 est 1 car tout écart entre les deux a été bouché.
par rapport à la limite, la définition de 0,999... est LA limite, le plouf final du calcul de la limite,
0,999... n'est pas cet interminable mise bout à bout et j'en mets et j'en rajoute, et mince faut aller manger et j'ai pas fini.
Donc et y compris lorsque l'étudiant joue avec les limites, tant que l'intuition reste bloqué sur x tend vers,
ben le tend vers n'en fini pas , on est comme nodgim en construction.
alors que dire c'est LA limite, c'est bien dire le plouf final (certes là justifié mathématiquement, ...).
Ce ne sont pas LES évènements en construction.

Bref je ne comprends pas le dernier calcul de nodgim, mais cela redémarre avec soit la différence entre 0,999... et 1
or cette différence n'existe pas, elle est nulle.a vouloir manipuler les bouts de différence du calcul en formation on risque de se retrouver à diviser par zéro un de ces jours.
Mais je n'ai pas tout compris dans ce que fait nodgim , donc c'est peut-être un mauvais procès.

Ce que je dis sur le truc en formation (tend vers mais pas encore fini), versus le "plouf" final,
c'est l'erreur que je faisais lorsque j'ai rencontré sur le site la première fois ce 0,99...Mon intuition était de dire presque oui, mais pas tout à fait 1.Pour les raisons que je viens d'évoquer.
Voilà comment j'essayais de m'en prémunir.
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nodgim
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Re: Des décimaux aux irrationnels

par nodgim » 24 Nov 2016, 11:58

@Doraki : toi, tu connais la réponse, mon message s'adresse plutôt à Beagle. Je voulais marquer la différence entre la notion "infini" et "aussi grand que l'on veut".
En écrivant 1 = 0,999... , le 0,999... n'est pas une suite de 9 aussi grande que l'on veut. Une suite de 9 aussi grande que l'on veut est un nombre décimal.
En écrivant 0,999...= 1 -1/a, avec a = 10^n, n valant le nombre de 9 successifs, et n tendant vers l'infini, je n' exprime pas autre chose qu'un décimal aussi grand que l'on veut. Et ça restera toujours différent de 1, par la preuve décrite précédemment (élévation à la puissance "a" qui ne donne pas 1).
En revanche, 0,999...avec une infinité de 9, ne permet pas de dire que ça vaut 1 - 1/a, car "a" n'est pas un infini.

 

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