[RESOLU]Définition d'un K-espace vectoriel

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Clément
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[RESOLU]Définition d'un K-espace vectoriel

par Clément » 03 Nov 2016, 16:19

Bonjour à tous,

Je revois en ce moment la définition mathématique des espaces vectoriels et certains points ne sont pas clairs à mes yeux. Dans les ouvrages mathématiques, on peut trouver comme définition d'un -espace vectoriel l'énoncé suivant :
Soit un corps commutatif. Nous appelons -espace vectoriel tout triplet répondant aux propriétés suivantes :
1. est groupe commutatif, i.e. :
  • la loi est associative,
  • la loi admet un élément neutre,
  • tout élément de admet un élément symétrique pour la loi ,
  • de plus, la loi est commutative.
2. est une loi de composition externe sur E, à domaine d'opérateur , tel que :
  • ,
  • ,
  • où 1 est l'élément neutre pour la multiplication de ,
  • la loi est distributive par rapport à la loi ,
Les éléments de sont appelés scalaires.

Or le corps est défini par le triplet dont les deux lois de composition interne et vérifient un certain nombre de propriétés dont l'objet n'est pas le propos que je souhaite développé ici.

Ma question est la suivante : les lois et sont elles identiques ? En effet, dans les ouvrages que j'ai lus, elles sont souvent confondues. De plus, étant mécanicien, je travaille le plus souvent dans l'espace euclidien à trois dimensions ou les deux lois sont effectivement confondues. On peut par ailleurs remarquer que les lois et admettent le même élément neutre, ce qui semble établir un lien entre ces deux lois.

Pourriez-vous m'éclairer ce point ?

Bien cordialement,

ClB
Modifié en dernier par Clément le 03 Nov 2016, 20:18, modifié 2 fois.



Kolis
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Re: Définition d'un K-espace vectoriel

par Kolis » 03 Nov 2016, 17:29

Bonjour !
Dans la première ligne du point 2. il y a un qui est à changer en .
Dans la deuxième ligne tu as mis (sauf justement à décider de prendre le même signe d'addition) entre le signe d'addition de E. Tu dois mettre un signe "+" (addition du corps K).

Dans la pratique il est exact qu'on ne fait pas cette débauche de signes différents. Pour les premiers pas c'est effectivement une bonne chose mais les textes seraient illisibles si on voulait maintenir une telle distinction tout le temps. Tu verras, avec un peu de pratique, que l'utilisation de "+" pour les deux lois de groupes commutatifs n'est pas grave.
De même, la loi externe est notée multiplicativement (comme dans le corps K) c'est à dire avec un point "." ou, plus fréquemment, sans aucun signe : là il y a un danger quand on veut indiquer un produit d'entiers par exemple, un peu de soin suffit.

Pour la loi externe, je ne suis pas sûr qu'on ait le droit de dire que le 1 du corps K est élément neutre.

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Ben314
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Re: Définition d'un K-espace vectoriel

par Ben314 » 03 Nov 2016, 18:43

Salut,
Comme je suis pas certain que la réponse de Kolis soit super claire, j'en donne une deuxième (abondance de bien ne nuit jamais...)
Les lois et ne sont jamais identiques (sauf dans le cas très particulier où on regarde K lui même comme un K-espace vectoriel), mais on les note quasi systématiquement avec le même symbole.
Et pourquoi se permet-on de noter avec le même symbole des chose qui sont forcément différentes ?
Et bien parce que le contexte permet de savoir de laquelle des deux lois il s'agit : il suffit de regarder si ce qu'on ajoute c'est des éléments de K ou des éléments de E pour savoir s'il s'agit du + de K ou du de E donc, bien que le symbole soit le même, il n'y a jamais d'ambiguïté sur ce qu'il désigne et aucun risque de confusion.

Idem pour les différents "produits" (interne et externe) qui sont forcément différents mais notés de la même façon vu que le contexte permet de savoir duquel des deux il s'agit.

Ce n'est pas le seul cas où on note de la même façon des choses différentes. Le premier exemple qui me vient à l'esprit (mais il y en a d'autres) est celui des coeff. binomiaux qu'on note exactement de la même façon que les vecteurs colonne 2x1 en considérant que c'est le contexte qui permet de savoir de quoi on parle.

Sinon, concernant les fait que le 1 de K est neutre pour , je confirme ce que dit Kolis : le vocable "d'élément neutre" est réservé au cas des lois de composition internes et n'en est pas une.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Clément
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Re: Définition d'un K-espace vectoriel

par Clément » 03 Nov 2016, 19:14

Merci bien pour ces réponses. Aussi, si j'ai bien compris la définition d'un -espace vectoriel fait correspondre à , la loi additive de à la loi de composition interne du -espace vectoriel de telle sorte :


Encore une fois, merci pour ces explications, voilà qui est plus clair. Toutefois pour être bien sûr, dans cette définition d'une application linéaire :

Soient et deux -espace vectoriel. Nous appelons application linéaire de dans toute application qui soit :
1. additive :
2. homogène :

Dans le 1., resp. 2., le , resp., à gauche de l'égalité est la loi de composition interne de , resp. externe, et celle de à droite de l'égalité. Ces lois étant reconnue par le contexte. Ce raisonnement est-il correct ?

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Ben314
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Re: Définition d'un K-espace vectoriel

par Ben314 » 03 Nov 2016, 19:34

C'est tout à fait ça.
Dans certain livre, on utilise au début la notation en mettant en indice des différent + les ensembles sur lesquels ils sont définis.
Mais c'est rapidement très ch... à écrire et comme le contexte suffit systématiquement à savoir de quel + il s'agit, on laisse tomber.
Tu as aussi exactement le même problème concernant le 0 qui peut soit désigner le 0 de l'e.v. E (ou de l'e.v. F) ou du corps K.
Là, certain auteurs continuent a noter du début à la fin , et pour les distinguer alors que d'autres auteurs ne le font pas en considérant que le contexte permet de savoir de quoi on parle.

Par exemple (et ça ne me surprend pas) si tu regarde sur le Wiki Français "espaces vectoriels", tu trouve du et du alors que, sur la même page en Anglais tu trouve et
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Clément
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Re: Définition d'un K-espace vectoriel

par Clément » 03 Nov 2016, 20:17

Merci beaucoup pour toutes ces explications !

Bonne continuation.

 

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