Problème d'optimisation: maximiser l'aire d'un triangle.

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mimi313131
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Problème d'optimisation: maximiser l'aire d'un triangle.

par mimi313131 » 26 Oct 2016, 19:16

Bonjour tout le monde,
Je suis nouvelle sur ce forum, et j'écris ce message afin de comprendre quelque chose qui peut être est simple mais je ne la comprend quand même pas donc si quelqu'un pourrait m'aider...
Alors voici mon exercice:
On considère l'ellipse:
où a>b>0 sont les demi-longueurs des axes.On veut déterminer le point X=(x,y) qui maximiser l'aire du triangle avec A=(-a,0) et B=(0,b) fixés.

Je vous passe les détails des questions, car je n'ai pas de problème avec cela, mon soucis c'est qu'il est clair que pour résoudre ce problème il faut formuler l'aire du triangle en fonction de x et de y, le prof l'a formulé ainsi : S=1/2 (det(vect(XA),vect(XB))
j'imagine qu'on obtient ce résultat en calculant les différentes distances nécessaires au calcul de l'aire du triangle en fonction de x et de y et en utilisant la formule classique qui est : base*hauteur/2. Mais je ne sais pas comment on fait pour avoir ce résultat, donc si quelqu'un sait, je lui en serais reconnaissante de m'aider.
Merci d'avance.



mimi313131
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Re: Problème d'optimisation: maximiser l'aire d'un triangle.

par mimi313131 » 26 Oct 2016, 19:17

Le triangle c'est : XAB ! désolé , c'est une erreur que j'ai du commettre avec l’écriture en LATEX.

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zygomatique
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Re: Problème d'optimisation: maximiser l'aire d'un triangle.

par zygomatique » 26 Oct 2016, 19:40

salut

sais-tu ce qu'est le déterminant de deux vecteurs ?

montre donc cette formule et vérifie que c'est bien l'aire du triangle BAX
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

mimi313131
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Re: Problème d'optimisation: maximiser l'aire d'un triangle.

par mimi313131 » 26 Oct 2016, 19:50

Aufait le but ce n'est pas de démontrer que c;'est l'aire du triangle, le but est de maximiser l'aire; mais pour cela il faut la formuler. Dans la correction, le prof a mis que c'était égale à ce que j'ai mis plus haut c'est à dire au déterminer de la matrice ayant pour pour première ligne le vecteur XA et pour seconde ligne le vecteur XB.

mimi313131
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Re: Problème d'optimisation: maximiser l'aire d'un triangle.

par mimi313131 » 26 Oct 2016, 19:51

Dans l'exo on ne nous donne pas cette surface, c'est normalement nous qui sommes sensés la déterminer, mais je ne comprend pas comment!

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zygomatique
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Re: Problème d'optimisation: maximiser l'aire d'un triangle.

par zygomatique » 26 Oct 2016, 20:43

ben ton prof te dit que l'aire du triangle BAX est (1/2) det (XA, XB)

alors soit tu le prouves et ensuite tu maximalises cette aire ... soit j'abandonne ....

aide : introduire le point H de la droite (AB) tel que (AB) et (HX) soient perpendiculaires ...
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

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Ben314
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Re: Problème d'optimisation: maximiser l'aire d'un triangle.

par Ben314 » 27 Oct 2016, 04:49

Salut,
A mon sens, c'est une propriété qui devrait obligatoirement (*) être signalée (et éventuellement démontrée) lorsque l'on voit pour la première fois les déterminants 2x2 :
Étant donné deux vecteurs U et V du plan, la valeur absolue du déterminant de U et V, c'est la surface du parallélogramme "engendré" par (U,V).
Et pour le démontrer, on peut effectivement revenir à la formule base x hauteur/2, mais c'est pas mal calculatoire, alors qu'il y a une preuve géométrique avec (quasi) aucun calculs : tu représente les points A:(x,y) B:(x',y') C:(x+x',y+y') puis, pour évaluer la surface du parallélogramme (OABC), tu découpe le carré de diagonale [OC] en différents triangles rectangles dont les cotés formant un angle droit sont // aux axes plus le fameux parallélogramme.
Par simple soustraction tu va obtenir que la surface du parallélogramme est xy'-yx' (ou x'y-y'x selon la disposition).

(*) Et je trouve ça éminemment dommage que cette propriété, très simple à énoncer et à démontrer et qui de plus donne une interprétation géométrique de ce qu'est un déterminant soit assez souvent omise.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

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chan79
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Re: Problème d'optimisation: maximiser l'aire d'un triangle.

par chan79 » 27 Oct 2016, 14:54

mimi313131 a écrit:On veut déterminer le point X=(x,y) qui maximiser l'aire du triangle avec A=(-a,0) et B=(0,b) fixés.
.

Salut
Tu as déterminé le point X demandé ?

siger
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Re: Problème d'optimisation: maximiser l'aire d'un triangle.

par siger » 27 Oct 2016, 17:29

bonjour

voir WIKIPEDIA: "determinant", "determinant de deux vecteurs dans le plan euclidien"
pour la formule donnant la surface et sa demonstration citée par Ben314

 

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